Yasar Deger Die Methode der Finiten Elemente Die Methode der Finiten Elemente Grundlagen und Einsatz in der Praxis Dipl.-Ing. Dr.sc.techn. ETH Yasar Deger 8. Auflage Mit 131 Bildern Kontakt & Studium Band 551 Herausgeber: Prof. Dr.-Ing. Dr. h.c. Wilfried J. Bartz Dipl.-Ing. Hans-Joachim Mesenholl Dipl.-Ing. Elmar Wippler TAE 8. Auflage 2017 7. Auflage 2015 6. Auflage 2013 5. Auflage 2008 4. Auflage 2007 3,. erweiterte Auflage 2004 2. Auflage 2002 1. Auflage 2001 Bei der Erstellung des Buches wurde mit großer Sorgfalt vorgegangen; trotzdem lassen sich Fehler nie vollständig ausschließen. Verlag und Autoren können für fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Für Verbesserungsvorschläge und Hinweise auf Fehler sind Verlag und Autoren dankbar. © 2001 by expert verlag, Wankelstr. 13, D -71272 Renningen Tel.: + 49 (0) 71 59 - 92 65 - 0, Fax: + 49 (0) 71 59 - 92 65 - 20 E-Mail: expert@expertverlag.de, Internet: www.expertverlag.de Alle Rechte vorbehalten Printed in Germany Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Dies gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. ISBN 978-3-8169-3399-1 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http: / / www.dnb.de abrufbar. Bibliographic Information published by Die Deutsche Bibliothek Die Deutsche Bibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie; detailed bibliographic data are available on the internet at http: / / www.dnb.de Herausgeber-Vorwort Bei der Bewältigung der Zukunftsaufgaben kommt der beruflichen Weiterbildung eine Schlüsselstellung zu. Im Zuge des technischen Fortschritts und angesichts der zunehmenden Konkurrenz müssen wir nicht nur ständig neue Erkenntnisse aufnehmen, sondern auch Anregungen schneller als die Wettbewerber zu marktfähigen Produkten entwickeln. Erstausbildung oder Studium genügen nicht mehr - lebenslanges Lernen ist gefordert! Berufliche und persönliche Weiterbildung ist eine Investition in die Zukunft: - Sie dient dazu, Fachkenntnisse zu erweitern und auf den neuesten Stand zu bringen - sie entwickelt die Fähigkeit, wissenschaftliche Ergebnisse in praktische Problemlösungen umzusetzen - sie fördert die Persönlichkeitsentwicklung und die Teamfähigkeit. Diese Ziele lassen sich am besten durch die Teilnahme an Seminaren und durch das Studium geeigneter Fachbücher erreichen. Die Fachbuchreihe Kontakt & Studium wird in Zusammenarbeit zwischen der Technischen Akademie Esslingen und dem expert verlag herausgegeben. Mit über 700 Themenbänden, verfasst von über 2.800 Experten, erfüllt sie nicht nur eine seminarbegleitende Funktion. Ihre eigenständige Bedeutung als eines der kompetentesten und umfangreichsten deutschsprachigen technischen Nachschlagewerke für Studium und Praxis wird von der Fachpresse und der großen Leserschaft gleichermaßen bestätigt. Herausgeber und Verlag freuen sich über weitere kritischkonstruktive Anregungen aus dem Leserkreis. Möge dieser Themenband vielen Interessenten helfen und nützen. Dipl.-Ing. Hans-Joachim Mesenholl Dipl.-Ing. Elmar Wippler Vorwort Das vorliegende Buch, entstanden aus bald fünfunddreissigjähriger Erfahrung in Lehre und Praxis, entspricht dem Bedürfnis, Grundlagen, Arbeitsweise und Anwendung der Methode der finiten Elemente in möglichst kompakter und leicht verständlicher Form zu vermitteln. Es ist in erster Linie als Lehrmittel für Studierende auf der Stufe Fachhochschule oder als Arbeitsunterlage für einen entsprechenden Weiterbildungskurs gedacht, eignet sich aber gleichermassen zum Selbststudium. Ich betrachte es als Bindeglied bzw. Brücke zwischen der Technischen Mechanik und dem Tätigkeitsfeld des heutigen (oder künftigen) Berechnungsingenieurs. Aus der Überzeugung heraus, dass für die viel beteuerte Qualitätssicherung bei den finite Elemente Berechnungen das Verständnis der grundlegenden Zusammenhänge eine wichtige Voraussetzung ist, habe ich besonders Wert darauf gelegt, den Bezug zur Technischen Mechanik sowie die für den erfolgreichen Einsatz in der Praxis relevanten Aspekte in den Vordergrund zu stellen und software-neutral zu bleiben. Dafür aber habe ich versucht, den mathematischen Background und die wissenschaftlich-theoretischen Herleitungen auf das Wesentliche bzw. auf ein notwendiges Minimum zu beschränken. Nach kurzer Erläuterung der FE-Methode und nach Auffrischung der strukturmechanischen Grundlagenkenntnisse werden für ausgewählte Grundtypen von finiten Elementen die Steifigkeitseigenschaften in Matrizendarstellung hergeleitet. Dabei wird besonders auf die Interpolation des Verschiebungsfeldes eingegangen, welche die Ursache des Diskretisierungsfehlers der FE-Methode ist. So erhält der zukünftige Anwender wichtige Erkenntnisse für den verantwortungsvollen Umgang mit dieser leistungsfähigen Simulationsmethode. Im Weiteren wird auf Modellierungstechniken und computergerechte Lösungsalgorithmen, auf Simulation von Materialverhalten und Versagensmechanismen eingegangen. Um einen kurzen Überblick zu gewähren, werden spezifische Anwendungsfälle wie dynamische und thermische Problemstellungen, nichtlineare Berechnungen, Modellierung des Kontakts, etc. ebenfalls behandelt. Das Buch beschreibt dann im FEM-Prozessmodell den Simulationsprozess von der Aufgabenstellung bis zur Archivierung der Daten wie er im Ingenieurumfeld abläuft. Anschliessend folgen bewährte praktische Regeln für zweckmässige Modellbildung und effiziente Problemlösung, Vorgehensschritte für gezielte Interpretation bzw. kritische Überprüfung der Ergebnisse und Hinweise, die bei der Aufdeckung eventueller Fehler behilflich sein können. Die zahlreichen, einfach gehaltenen Übungsbeispiele aus einer breiten Palette von Problemen mit Praxisbezug sollen den theoretischen Teil sinnvoll ergänzen und die unmittelbare Anwendung des Gelernten fördern. Dem Expert Verlag danke ich herzlich für die wertvollen Anregungen, Sulzer Innotec für die wohlwollende Unterstützung und Peter Fritzsche, Dozent für Technische Mechanik an der FH Nordwestschweiz, für die Verfassung der Abschnitte 3.2, und 9.1 bis 9.3. Das Buch erscheint nun als 8 . Auflage in praktisch unveränderter Form. Rapperswil, M ai 201 7 Yasar Deger Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung ........................................................................................................ 1 2 Theoretische Grundlagen .............................................................................. 4 2.1 Linearelastische Theorie und ihre Praxis ......................................................................4 2.2 Kinematische Beziehungen zwischen Verformungen und Verzerrungen .....................7 2.3 Spannungszustand / Verzerrungszustand ....................................................................9 2.4 Das Materialverhalten .................................................................................................11 2.5 Gleichgewicht im deformierten Zustand: zugehörige Prinzipien .................................14 2.5.1 Prinzip der virtuellen Verschiebungen.........................................................................14 2.5.2 Minimumprinzip der potentiellen Energie ....................................................................15 2.5.3 Das “Schnittprinzip“ .....................................................................................................16 2.6 Deformationsmethode (“direkte Steifigkeitsmethode“) ...............................................18 2.7 Charakteristische Eigenschaften typischer Strukturen................................................20 2.7.1 Dreidimensionale, zweidimensionale und eindimensionale Kontinua .........................20 2.8 Ein eindimensionaler elastischer Körper: Feder .........................................................27 2.9 Lösung der Matrizengleichungen in der Mechanik......................................................34 2.9.1 Cholesky-Zerlegung ....................................................................................................34 2.10 Ein weiterer eindimensionaler mechanischer Körper: Balken (“Blattfeder”)................37 2.11 Ersatz äusserer Kräfte und Momente durch konsistente Knotenbelastung ................41 3 Finite Elemente als Ersatz für elastische Körper ...................................... 44 3.1 Lineares Stabelement .................................................................................................44 3.2 Lineares, rechteckiges Scheibenelement ...................................................................47 3.2.1 Elementsteifigkeitsmatrix ............................................................................................47 3.3 Rechteckiges Plattenelement......................................................................................51 4 Rotationssymmetrie ..................................................................................... 56 4.1 Rotationssymmetrischer Spannungszustand ..............................................................57 4.2 Symmetrische und antisymmetrische Belastungen.....................................................59 4.3 Verzerrungen unter nicht-rotationssymmetrischer Belastung .....................................60 4.4 Rotationsschalen.........................................................................................................60 4.4.1 Rotationsschale mit rotationssymmetrischer Belastung..............................................60 4.4.2 Rotationsschalen mit nicht-rotationssymmetrischer Belastung ...................................63 5 Modellierung des Materialverhaltens.......................................................... 64 5.1 Einige Beispiele für Materialgesetze ...........................................................................64 5.1.1 Elasto-plastisches Materialverhalten...........................................................................64 5.1.2 Hyperelastisches Materialverhalten ............................................................................65 5.1.3 Unterschiedliches Verhalten im Zug- und Druckbereich .............................................65 5.1.4 Elastisch-viskoplastisches Materialverhalten ..............................................................66 5.1.5 Kriechen ......................................................................................................................66 5.1.6 Relaxation ...................................................................................................................67 5.2 Versagenskriterien ......................................................................................................69 5.2.1 Von Misessches Fliesskriterium ..................................................................................69 5.2.2 Hillsches Fliesskriterium..............................................................................................70 5.2.3 Mohr-Coulombsche Festigkeitshypothese ..................................................................70 6 Stabilitätsuntersuchungen / Nichtlinearitäten ........................................... 72 6.1 Stabilitätsuntersuchungen ...........................................................................................72 6.2 Materialnichtlinearitäten ..............................................................................................74 6.3 Geometrische Nichtlinearitäten ...................................................................................74 6.3.1 Grosse Verschiebungen und Verzerrungen bei Stäben..............................................74 6.3.2 Grosse Verschiebungen und Verzerrungen bei Platten und Schalen ........................77 6.3.3 Allgemeiner Greenscher Ansatz für nichtlineare Kontinua..........................................78 6.4 Nichtlineare Randbedingungen ...................................................................................78 6.5 FE-Simulation von Kontakt..........................................................................................78 7 Dynamische FE-Berechnungen .................................................................. 80 7.1 Grundlagen .................................................................................................................81 7.2 Modale Analyse...........................................................................................................84 7.3 Methoden zur Lösung der Bewegungsgleichung ........................................................89 7.3.1 Das Newmark-Verfahren.............................................................................................89 8 Thermische FE-Berechnungen ................................................................... 91 8.1 Grundlagen aus der Wärmelehre ................................................................................93 8.2 Analogie zwischen thermischer und mechanischer FE-Berechnung ..........................94 8.3 Thermisch induzierte Beanspruchung.........................................................................95 8.3.1 Spannungen durch Thermoschock .............................................................................95 8.3.2 Spannungen durch behinderte Krümmung .................................................................95 9 Regeln für den Umgang mit der FE-Methode............................................. 97 9.1 Kompetenzen ..............................................................................................................98 9.2 Das FEM-Prozessmodell ..........................................................................................100 9.2.1 Klären der Aufgabenstellung .....................................................................................101 9.2.2 Idealisierung ..............................................................................................................101 9.2.3 Modellbildung ............................................................................................................105 9.2.4 Analyse .....................................................................................................................107 9.2.5 Auswertung ...............................................................................................................109 9.2.6 Dokumentation ..........................................................................................................109 9.2.7 Qualitätsmanagement ...............................................................................................109 9.3 Diskretisierungsfehler, Konvergenz ..........................................................................110 9.3.1 Einflussgrössen .........................................................................................................110 9.3.2 Beurteilung des Diskretisierungsfehlers ....................................................................111 9.4 Ursachen möglicher Fehler bei der Modellierung .....................................................112 9.5 Möglichkeiten zur Überprüfung der Ergebnisse ........................................................118 9.6 Tipps und Tricks ........................................................................................................120 10 Übungen...................................................................................................... 124 10.1 Eine finite Elemente Berechnung per Hand ..............................................................124 10.2 Parameterstudie “Kerbwirkung” ................................................................................125 10.3 Einfluss der FE-Vernetzung auf die Genauigkeit ......................................................126 10.4 Unterschiedliche Elementtypen im Vergleich ............................................................127 10.5 Anpassung der Netzfeinheit an die Belastung (3D) ..................................................128 10.6 Anpassung der Netzfeinheit an die Belastung (2D) ..................................................129 10.7 Optimierung einer Winkelverbindung ........................................................................131 10.8 Schrittweise FE-Berechnung für modular aufgebaute Strukturen .............................134 10.9 Plastisches Materialverhalten / “Fliessgelenk” ..........................................................136 10.10 Verstärkungsvarianten für einen Balken ...................................................................137 10.11 Platte aus Verbundwerkstoff .....................................................................................138 10.12 Stabilitätsuntersuchung .............................................................................................139 10.13 Rotierende Scheibe...................................................................................................140 10.14 Rotorblatt eines Helikopters ......................................................................................142 10.15 Untersuchungen an einer Darrieus-Windkraftanlage ................................................143 10.16 Eigenschwingungen eines einfachen Fachwerks .....................................................145 10.17 Eigenschwingungen eines “Balkens” mit konzentrierten Massen .............................146 10.18 Transiente Schwingungen einer Platte unter Stossbelastung...................................147 10.19 ”Beruhigung“ einer Fussgängerbrücke mittels Schwingungstilgers ..........................150 10.20 Thermoschock bei einer überhitzten Dampfleitung ...................................................152 10.21 Schrumpfverbindung .................................................................................................153 10.22 2D-Kontakt-Simulation ..............................................................................................154 10.23 Plastisches Umformen ..............................................................................................155 10.24 2D-Simulation einer Projektilbremse .........................................................................156 10.25 Simulation eines Kurbeltriebs....................................................................................157 1 1 Einleitung Die Methode der Finiten Elemente (FEM) ist ein halbes Jahrhundert altes numerisches Näherungsverfahren, das auf der Lösung von Gleichungssystemen beruht, welche ihrerseits auf ein Variationsprinzip zurückgeführt werden können. In Bezug auf die Statik deformierbarer Körper kann man es etwa folgendermassen ausdrücken bzw. verstehen: Infolge einer Lastwirkung tendiert eine mechanische Struktur diejenige Formänderung unter allen möglichen zu erfahren, welche ein Minimum an energetischem Aufwand erfordert. In diesem Zustand besteht ein eindeutiger Zusammenhang zwischen Lasten und Deformationen und es herrscht "Gleichgewicht". Parallel zu den rasanten Fortschritten hinsichtlich Computerleistung in den letzten Jahrzehnten haben sich bekanntlich die Simulation im allgemeinen und der Einsatz der Methode der finiten Elemente im besonderen zu einem vom Berufsalltag kaum wegzudenkenden Arbeitsinstrument des Berechnungsingenieurs entwickelt. Mit entsprechenden Computerprogrammen lassen sich nicht nur vielfältige statische, sondern auch dynamische und thermische Untersuchungen in den Bereichen Maschinenbau, Leichtbau und Bauingenieurwesen zweckmässig und effizient durchführen. Ferner werden sie mit Erfolg für die Behandlung allgemeiner Potentialprobleme (Strömungen, elektromagnetische Felder, Diffusionsphänomene, usw.) eingesetzt. All diese Berechnungen können linear oder nichtlinear sein. Die Nichtlinearitäten können viele Ursachen haben: Plastische oder hyperelastische Verformungen, Beulen, Knicken, Reibung, Dämpfung, Kontakt, Kopplung zwischen Belastung und Lagerung, “Following Forces“, etc. Die in letzter Zeit ausgereifte Kopplung mit CAD- und MKS (Mehrkörpersysteme)-Programmen erleichtert den Zugriff auf die FE-Software für einen breiteren Anwenderkreis und fördert die interdiziplinäre Zusammenarbeit, sei es bei der Produktentwicklung, -optimierung oder bei der Analyse von Schadenfällen. Der Umgang mit der FEM als leistungsfähiges Werkzeug des Berechnungsingenieurs setzt einerseits fundiertes Fachwissen auf dem Gebiet der technischen Mechanik, andererseits gewisse spezifische Kenntnisse über die Funktionsweise der Methode bzw. deren Elemente voraus. Selbstverständlich kommt hinzu, dass der Benützer auch mit den Spezialitäten des jeweiligen FE- Programms vertraut sein muss. Darauf soll jedoch im Rahmen dieses Buches nicht weiter eingegangen werden. 2 Die erste und vielleicht wichtigste Frage, die zu Beginn einer rechnerischen Untersuchung gestellt und beantwortet werden muss, ist, ob die Aufgabe überhaupt  und wenn ja  besser als mit anderen Mitteln durch eine FE- Analyse gelöst werden kann. Anschliessend sind noch einige Abklärungen und Entscheidungen erforderlich: Vollständigkeit von Inputdaten, Einzelheiten der Modellierung, gewünschte Genauigkeit, etc. Die Resultate einer FE-Simulation können bestenfalls so gut und gültig sein wie die Annahmen, die der Berechnung zugrundegelegt werden. Das Erkennen und Minimieren von Fehlermöglichkeiten bei der Umsetzung dieser Annahmen in der Modellierungsphase spielen hinsichtlich Qualitätssicherung eine entscheidende Rolle. Nun eine genauere Beschreibung der Arbeitsweise der Methode: Die Wirkung einer (statischen) Belastung auf eine Struktur - nämlich ihre allgemeine Formänderung und die daraus resultierenden Verzerrungen bzw. Spannungen - hängt naheliegenderweise von ihrer Steifigkeit und ihren Lagern ab. Die Steifigkeit wird von Materialeigenschaften und geometrischen Parametern der Struktur bestimmt. Analog zu einer einfachen Feder besteht bei jeder deformierbaren Struktur eine eindeutige Beziehung zwischen Belastung und Formänderung über diese "Steifigkeit". Die Diskretisierung der Struktur anhand eines Modells, das aus Bausteinen (d.h. aus Elementen im Sinne "verallgemeinerter" Federn) mit einfacherer Geometrie und wohldefiniertem Materialverhalten besteht, erlaubt die Formulierung der oben angesprochenen Beziehung in der für computerunterstützte numerische Operationen günstigen "Matrizenschreibweise". Durch Verbindung der Elemente miteinander in bestimmten Punkten (sogenannten Knoten) wird also das eigentliche Finite Elemente (FE-) Modell (Bild 1.1) gebildet, welches - wie ein "Lego"-Modell - i.a. die Wirklichkeit nur näherungsweise wiedergeben kann. In den Knoten, die nicht nur Kräfte sondern - je nach Elementtyp - auch Momente übertragen können, wird nämlich wohl die Stetigkeit der Verschiebungen und Verdrehungen sichergestellt, nicht unbedingt aber jene der Verzerrungen und Spannungen. Die Knotenverschiebungen und -verdrehungen sind die primären Unbekannten einer FE-Modellierung und werden bei der Berechnung zuerst bestimmt. Die effektiven Verzerrungs- und Spannungsverteilungen im Inneren jedes einzelnen Elementes und somit zusammenhängend im ganzen Modell werden im Anschluss daran über die sogenannten kinematischen Beziehungen und Materialgesetze ermittelt. Dabei werden die zugehörigen Werte innerhalb jedes Elementes und zwischen den benachbarten Elementen interpoliert bzw. gemittelt. Je nach Problemstellung kann eine Struktur aus Balken-, Stab-, Membran-, Scheiben-, Platten- oder Schalenelementen modelliert werden, von denen wiederum in der Regel jeweils eine grössere Anzahl mit unterschiedlichen Verhaltensmerkmalen zur Auswahl steht. Es gilt also, sich mit den Steifigkeits- 3 eigenschaften bzw. dem Tragverhalten der Struktur auseinanderzusetzen, die richtige Wahl für den Elementtyp zu treffen und die Vernetzung der Ele- Bild 1.1: Diskretisierung einer Struktur mente problemgerecht zu gestalten. Gefordert wird vor allem die Fähigkeit, das Wesentliche am jeweiligen physikalischen Problem zu erfassen und durch geeignete Idealisierungen bzw. ingenieurmässig getroffene Annahmen in ein mechanisch-mathematisches Modell umzusetzen, welches letzlich so einfach wie nur möglich, aber - “dem gesunden Menschenverstand“ entsprechend - so vollständig wie nötig, sein muss. Wirtschaftlichkeit ist schliesslich auch bei FE-Analysen ein wesentliches Kriterium. Nach erfolgter Berechnung sind die Ergebnisse gezielt auszuwerten und - last but not least - sorgfältig, kritisch und kompetent zu interpetieren. Nicht selten werden dabei neue Erkenntnisse gewonnen und weiterführende Fragen aufgeworfen. y x 2 1 3 p V 3 U 3 Knoten Ein charakteristisches Element (1) (3) (1) (2) (4) 2 1 3 4 6 5 p Y 4 X 4 y x 4 2 Theoretische Grundlagen Die Zusammenhänge zwischen den Kraft- und Deformationsgrössen werden normalerweise während der Ingenieurausbildung im Rahmen der Technischen Mechanik sowie der Elastizitätstheorie ausführlich behandelt. Für das Verständnis und den kompetenten Einsatz der Methode der Finiten Elemente sind diese von grundlegender Bedeutung. Deshalb werden sie im folgenden kurz aufgefrischt bzw. zusammengefasst. Linearelastische Theorie und ihre Praxis 2.1 Finite Elemente Berechnungen können linear oder nichtlinear sein. Die Nichtlinearitäten bei einer Strukturberechnung können grundsätzlich auf einen oder mehrere der folgenden Aspekte zurückgeführt werden:  Geometrie / Kinematik (grosse Verschiebungen und / oder Rotationen, Kopplung zwischen Form und Beanspruchung, Instabilität, “Postbuckling“)  Materialeigenschaften (temperaturabhängige Werkstoffparameter, Phasenwechsel, Plastizität, Viskoplastizität, grosse Deformierbarkeit wie bei Elastomeren, Dämpfung, Hysterese, Reibung)  Veränderliche Randbedingungen (progressive oder degressive Federung der Lager, Kontaktprobleme bzw. "Gaps")  Relevanz der Belastungsgeschichte, von der Deformation abhängige Belastung ("Following Forces")  Algorithmen, welche Interpolation und Extrapolation ausschliessen. Die Lösung einer nichtlinearen Problemstellung erfolgt in der Regel durch eine iterative bzw. schrittweise Berechnung in mehreren Inkrementen. Bei überwiegenden praktischen Fällen lässt sich jedoch ein sogenannter linearer Zusammenhang zwischen der Kraft und Verschiebung einerseits und Spannung und Dehnung andererseits feststellen. D.h. die Verschiebung und die Dehnung erweisen sich als proportional zur Kraft bzw. zur Spannung. Bei näherer Betrachtung findet man leicht heraus, dass diese Aussage mit den folgenden Voraussetzungen eng verbunden ist:  Die Verschiebungen und die daraus resultierenden Verzerrungen sind “klein“ und haben keinen Einfluss auf die Grösse der Reaktionskräfte (z.B. keine Belastung wie in Bild 2.1 bei einem schlanken Träger). 5 Bild 2.1: Schlanker Träger unter exzentrischer Last  Die Belastung hat keinen Einfluss auf die Randbedingungen bzw. auf die Lagerung (z.B. kein neues Lager wie C in Bild 2.2 bei Zunahme der Belastung). Bild 2.2: "Notlager" bei zunehmender Belastung  Die Art und Weise, wie die Belastung einwirkt, ändert sich durch die Deformation nicht (z.B. keine Flächenpressung durch Kontakt zwischen deformierbaren Körpern wie in Bild 2.3). Bild 2.3: Variable Interaktion zwischen Kraft und Deformation  Das Material verhält sich linearelastisch im Sinne des Hookeschen Gesetzes (Bild 2.4). Die Proportionalitätskonstante (der Elastizitätsmodul E) ist im Zug- und Druckbereich identisch. Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, ist Vorsicht geboten. Eine aussagekräftige rechnerische Analyse ist meistens auch dann möglich, jedoch nur wenn entsprechende Nichtlineritäten korrekt erfasst bzw. berück- C 6 Bild 2.4: Linearelastisches Materialverhalten sichtigt werden, und jedenfalls mit beträchtlichem Mehraufwand. Im Gültigkeitsbereich der linearelastischen Theorie gilt auch das sogenannte Überlagerungs- (Superpositions-)prinzip (Bild 2.5). Durch Anwendung dieses Prinzips können z.B. kompliziertere Lastfallkombinationen als Summe von gewichteten Einheitslastfällen gebildet bzw. behandelt werden. Bild 2.5: Überlagerungsprinzip Gestützt auf die linearelastische Theorie kann übrigens das sogenannte Reziprozitätsprinzip (bekannt als Satz von Betti und / oder Maxwell) formuliert werden: eine Zustandsgrösse, z.B. die Verschiebung u ij , die durch Einwirkung einer Kraft F j im Punkt j eines deformierbaren Körpers im Punkt i erzeugt wird, stimmt mit derjenigen überein, welche eine im Punkt i angreifende Kraft F i im Punkt j verursacht, d.h. mit u ji (Bild 2.6). Dieser Grundsatz geht übrigens auf die folgende allgemeinere Feststellung zurück: u I und u II seien je eine Gruppe von Verschiebungen, welche durch die Kräftesysteme F I bzw. F II an einem linearelastisch deformierbaren Körper herforgerufen werden. Die Arbeit, die die Kräfte F I bei den Verschiebungen u II verrichten, ist vergleichbar mit derjenigen Arbeit, welche durch die Kräfte F II bei den Verschiebungen u I erfolgt. Auch das FE-Modell als Abbild eines bestimmten deformierbaren Körpers sollte diese Bedingungen erfüllen. Man   E = tan   + = 7 kann also bei der Überprüfung der Güte eines Finite Elemente Modells für linearelastische Untersuchungen den Satz von Betti / Maxwell als Kriterium heranziehen. Bild 2.6: Räziprozitätsprinzip (u ji = u ij ) Kinematische Beziehungen zwischen Verformungen 2.2 und Verzerrungen Bei einem deformierbaren Körper unter Krafteinwirkung ändert sich die Deformation, ausgedrückt durch die drei Komponenten u, v und w, über den ganzen Körper kontinuierlich. Beliebige Punkte eines solchen Körpers erfahren also Verschiebungen, denen man je einen Vektor i d  (u, v, w) zuweisen kann (Bild 2.7). Die zugehörigen Komponenten u (x, y, z), v (x, y, z) und w (x, y, z) bilden somit - über den ganzen Körper betrachtet - je eine stetige Funktion von Lagekoordinaten x, y und z. Bild 2.7: Typische Verschiebungen bei einem deformierbaren Körper Die mit diesen Verschiebungen verbundene Formänderung äussert sich einerseits in den Dehnungen  und andererseits in sogenannten Schiebungen (Schubdeformationen) . Zusammen werden sie als Verzerrungen bezeichnet. 1 ' z y x 1 2 2 ' 3 ' 3 3 d  2 d  1 d  i j u ij F j i j F i u ji  8 Sind die Verschiebungen im Verhältnis zu den Abmessungen des Körpers deutlich klein (z.B. mm gegenüber m), so können diese Verzerrungen gemäss den folgenden Beziehungen aus den Verschiebungen ermittelt werden. x u x     y v y     z w z     x v y u xy        y w z v yz        z u x w zx        So liegt es auf der Hand, dass auch die Dehnungen und Schiebungen stetige Funktionen der Lagekoordinaten darstellen. Den Verschiebungen u, v und w kann also ein eindeutiger Verschiebungszustand mit zugehörigen Verzerrungen zugeordnet werden. Die Zusammenhänge zwischen den Verschiebungen und Verzerrungen werden für den Fall einer ebenen Verformung anhand von Bild 2.8 veranschaulicht. Abb. 2.8: Verschiebungen und Verzerrungen bei ebener Verformung Es sei darauf hingewiesen, dass die Verschiebungen gegenüber Abmessungen des Körpers und die Verschiebungsinkremente ( dx x u   , etc.) im Verhältnis zu den Verschiebungen selbst “klein“ sind. y x A C B A' C' B' u v dx dy 9 Spannungszustand / Verzerrungszustand 2.3 Denkt man sich im Inneren eines belasteten Körpers einen kleinen Würfel dx . dy . dz herausgeschnitten, so ist im allgemeinen Fall jede Würfelfläche durch innere Kräfte beansprucht, welche als Resultierende der zugehörigen Normal- und Schubspannungen aufgefasst werden können. Die Gesamtheit dieser Spannungen wird als Spannungszustand an der betreffenden Stelle des Körpers bezeichnet. Der Spannungszustand ist also nicht nur von der Bild 2.9: Spannungszustand am Würfel dx . dy . dz Bild 2.10: “Zusammenspiel“ der Spannungen in x-Richtung“ Belastung abhängig, sondern ändert sich auch je nach Lage im Körper. Im allgemeinen Fall, d.h. bei räumlichen (dreidimensionalen) Spannungszustand, wirken an jeder Würfelfläche drei Spannungskomponenten: eine Normalspannung und zwei Schubspannungen (Bild 2.9), welche sich nach x, y und z Koordinaten ändern. Überlegt man sich am betrachteten Würfel das Kräftespiel in x-Richtung (Bild 2.10), so gelangt man zu einer entsprechenden Gleichgewichtsbedingung. Analoge Beziehungen gelten selbstverständlich z y x dy dx dz  yx  zx z y x dy dx dz  z  x  y  xy  yx  yz  zy  zx  xz 10 auch für y- und z-Richtungen. Insgesamt müssen also folgende drei Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sein: 0 z y x σ zx yx x            0 x z y σ y x zy y            0 y x z σ yx xz z            In Spezialfällen kann auch ein einachsiger oder zweiachsiger (ebener) Spannungzustand vorliegen. Bei einem Zug-Druck-Stab herrscht z.B. ein ausgeprägt einachsiger Spannungszustand. Ist eine spannungsfreie Ebene wie die freien Oberflächen einer dünnen, in ihrer Mittelebene (x-y) belasteten Scheibe zu finden (Bild 2.11), so spricht man von einem ebenen Spannungszustand. In diesem Fall sind alle Spannungen ausser  x ,  y und  xy gleich null.  x ,  y und  xy können im Inneren der Scheibe mit x- und y- Koordinaten variieren, sind aber jedenfalls unabhängig von z. Bild 2.11: Eine durch Randkräfte in ihrer Mittelebene belastete Scheibe Durch die Spannungen wird der oben betrachtete Würfel deformiert. Die Würfelkanten werden gedehnt (verlängert oder verkürzt) und die Seitenflächen des Würfels werden gegeneinander gedreht (Zwischenwinkel ändern sich). Die Gesamtheit dieser Verformungen (Dehnungen und Schiebungen) nennt man Verformungs- oder Verzerrungszustand. Der Verformungszustand ist also eine Funktion des lokal herrschenden Spannungszustandes und daher im allgemeinen von Punkt zu Punkt im Körper verschieden. Analog zum Spannungszustand kann man auch je nach Fall vom einachsigen, zweiachsigen (ebenen) oder dreiachsigen (räumlichen) Verzerrungszustand sprechen. Jedoch stimmt die Anzahl Dimensionen des Verzerrungszustandes y x z 11 im allgemeinen nicht mit der Anzahl Dimensionen des Spannungszustandes überein. Ist z.B. eine Dehnung eingeschränkt oder Verschiebung in einer bestimmten Richtung nicht möglich, so gilt ein ebener Verzerrungsbzw. Verformungszustand. Ein langes Rohr unter Innendruck (Bild 2.12) übrigens auch zusammengeschweisste Eisenbahnschienen oder lange Tunnelröhre unter Erddruck von aussen können als typische Fälle dafür aufgeführt werden. Bild 2.12: Ein langes Rohr unter Innendruck p Das Materialverhalten 2.4 Die Beziehungen zwischen Verzerrungen und Spannungen werden über das Materialgesetz hergestellt. Im Rahmen des linear-elastischen Verhaltens isotroper, homogener Materialien gilt bekanntlich das Hookesche Gesetz. Für den räumlichen Spannungs- und Verzerrungszustand ergeben sich daraus folgende Gleichungen:   z y x x σ σ σ E 1 ε    xy xy G 1      z x y y σ σ σ E 1 ε    xz   G 1 xz    y x z z σ σ σ E 1 ε    yz   G 1 yz  wobei zwischen den sogenannten elastischen Materialkonstanten     1 E G 2 gilt (E: Elastizitätsmodul, G: Schubmodul, : Poisson-Zahl). Die obigen Zusammenhänge lassen sich leicht durch eine Matrizengleichung ersetzen: z y x p 12                                                                                                                           zx yz xy z y x zx yz xy z y x - 1 2 2 - 1 0 0 0 0 0 0 - 1 2 2 - 1 0 0 0 0 0 0 - 1 2 2 - 1 0 0 0 0 0 0 1 - 1 - 1 0 0 0 - 1 1 - 1 0 0 0 - 1 - 1 1 2 - 1 1 - 1 E Spannungsvektor {} Materialmatrix [C] Verzerrungsvektor {} oder in Kurzform:  {}=[C] {} Sind die lokalen Verzerrungen bekannt, kann man also dadurch direkt die zugehörigen Spannungen ermitteln. Die Möglichkeit bestünde natürlich auch im umgekehrten Fall, d.h. {}=[C] -1 {}. Die Tabelle auf der nächsten Seite bietet eine Übersicht über die Beziehungen zwischen Spannungs- und Verzerrungskomponenten je nach vorliegendem Spannungs- oder Verformungszustand. Die Anwendung dieser Gleichungen für den ebenen Spannungszustand, d.h. als   y x x - E 1 ε      x y y - E 1 ε      y x z E ε      xy xy G 1     0 yz xz     wird im folgenden am Beispiel einer dünnen Rechteckscheibe unter reiner Biegung illustriert: 13 Beziehungen zwischen den elastischen Verformungen und Spannungen Verteilung Verformungszustand Spannungszustand Beispiele Dreiachsig Alle Verformungen ungleich Null E   x   x   y   z  E   y   y   z   x  E   z   z   y   x  Alle Spannungen ungleich Null                  z y x x x ε ε ε 2 1 ε 1 E σ                  z y x y y ε ε ε 2 1 ε 1 E σ                  z y x z z ε ε ε 2 1 ε 1 E σ allgemeine Beanspruchung im Innern isotroper Stoffe Zweiachsig Verformungen in z- Richtung Null ( z = 0)           y x x σ 1 σ ε 1 E           x y y σ 1 σ ε 1 E  z  0 Spannungen in z- Richtung Null ( z = 0) E   x   x   y E   y   y   x E   z   x   y   z  0  z = 0 allgemeiner Verformungszustand langer prismatischer körper unter Querkräften oder bei behinderter Längsformänderung                 y x x x ε ε 2 1 ε 1 E σ                 y x y y ε ε 2 1 ε 1 E σ   y x x ε ε 2 1 1 E σ         Aus  z  0 folgt  z =  x   y    z x 2 x ε ε 1 E σ        x y 2 y ε ε 1 E σ      Aus  z  0 folgt   y x z ε ε 1         z = 0 allgemeinster, makroskopischer Spannungszustand unbelasteter Oberflächen Einachsig Nur Verformungen in x- Richtung ( x  0) x x σ ε 2ν 1 ν 1 ν 1 E       y  0  z  0 Nur Spannungen in x- Richtung ( x  0) E   x   x E   y   x E   z   x  x  0 Zug- oder Druckkörper mit behinderter Querformänderung x x ε 2 1 1 1 E σ          x y ε 2 1 1 1 E σ          x z ε 2 1 1 1 E σ           x  E x  y  0  z  0  x  0 Zug- oder Druckkörper mit freier Querformänderung  xy   xy = 0  yz   yz = 0  zx   zx = 0 G .  xy   xy G  yz   yz G .  zx   zx G   xy   xy  yz   yz = 0  zx   zx = 0 14 Beispiel: Rechteckige Scheibe unter reiner Biegung h >> b l >> h Ansatz aus Analogie zur Balkentheorie: y I M z   0 yz xz     Verschiebungskomponenten (Hookesches Gesetz, kinematische Relationen): y EI M x u    y EI M y v     0 x v y u       Integration mit u(0, 0) = v (0,0) = 0: xy EI M u    2 2 x y EI 2 M v    Elastische Linie:   2 x EI 2 M - 0 , x v  Gleichgewicht im deformierten Zustand: zugehörige 2.5 Prinzipien Schon aus Erfahrung ist bekannt, dass zwischen den einwirkenden Kräften und den daraus resultierenden Deformationen ein gewisser eindeutiger Zusammenhang besteht. Trotz den Verschiebungen und Verzerrungen beharrt der Körper in einem stationären Gleichgewichtszustand. Bei bekannten Kräften können die Verformungen ermittelt werden und umgekehrt. Im folgenden wird auf drei mechanische Prinzipien hingewiesen, welche dies bestätigen. 2.5.1 Prinzip der virtuellen Verschiebungen Ein Spannungszustand ist im Gleichgewicht mit den äusseren Lasten, wenn für beliebige, kinematisch zulässige Verschiebungszustände die innere virtuelle Arbeit U und die äussere virtuelle Arbeit W gleich sind. Dies sei anhand eines Fachwerkbzw. Zug-Druck-Stabs (Bild 2.13) veranschaulicht: y x M M h b l 15 Virtuelle Arbeit der äusseren Kraft: W = F . u Formänderungsenergie bzw. innere Arbeit: U = 2 1    V dV . . = F 2. l / (2EA) = (1/ 2) . c . u 2 mit F N =  . A = F u = F . l / EA c = EA/ l = konst. Virtuelle Arbeit der inneren Kraft: U = c . u . u W = U  F = c . u Bild 2.13: Virtuelle Verschiebung bei einem Zug-Druck-Stab 2.5.2 Minimumprinzip der potentiellen Energie Unter allen kinematisch zulässigen Verschiebungszuständen führt nur der wirkliche Zustand (d.h. der Zustand, bei dem äussere Lasten und innere Spannungen im Gleichgewicht sind) zu einem Minimum der gesamten potentiellen Energie ( = U + V) des Systems. Das “Potential“ V der äusseren Kräfte entspricht der negativen Arbeit -W. Durch  = 0, was ja bei einem solchen Variationsproblem erfüllt sein muss, gelangt man wiederum zur Feststellung W = U. Es ist leicht einzusehen, dass man für das obige Beispiel auch durch dieses Prinzip denselben Zusammenhang zwischen Kraft und Verschiebung, nämlich F = c . u erhält. Selbstverständlich sind beide Prinzipien auf beliebig kompliziertere Fälle im Rahmen der linearelastischen Theorie anwendbar. Bei einzelnen Elementen eines FE-Modells, wie auch beim ganzen Modell, bestehen analoge Beziehungen - allerdings in Vektorenbzw. Matrizenschreibweise -, durch welche die den “Knoten“ zugeordneten Kräfte und Verschiebungen über Steifigkeitsparameter miteinander verknüpft sind. u F l u E, A 16 2.5.3 Das “Schnittprinzip“ Ein einfaches mechanisches Prinzip besagt, dass, wenn sich ein ganzes System unter äusseren Kräften, d.h. durch Belastungen und Lagerreaktionen, im Gleichgewicht befindet, auch beliebige Bestandteile davon unter zugehörigen Kräften im Gleichgewicht sind. Diese an und für sich plausible Idee sei im folgenden am Beispiel eines fiktiven Fachwerks illustriert: Bild 2.14: Gleichgewicht unter den äusseren Kräften 17 Bild 2.15: Gleichgewicht an einzelnen Knoten (oben) und Stäben (unten) Die symbolische Darstellung der Stäbe im obigen Bild durch “Federn“ ist absichtlich gewählt. Tatsächlich wirken die Stäbe eines Fachwerks wie Federelemente, welche sich unter Krafteinwirkung soweit deformieren, dass ein stabiler Gleichgewichtszustand herrscht. 18 Deformationsmethode 2.6 (“direkte Steifigkeitsmethode“) Partielle Ableitung der Formänderungsenergie U nach der Verschiebung u i in einem Punkt i entspricht der an derselben Stelle wirkenden äusseren Kraft F i . i i F u U    Beispiel: Feder 2 cx 2 1 U  F x . c x U     Man achte darauf, dass diese Gleichung F = c . x zugleich als Beziehung zwischen der Kraft F und der Verschiebung u verstanden werden kann, durch welche die beiden Grössen über die Steifigkeitskonstante c gekoppelt sind. Beispiel: Träger 3 2 l F EI 6 1 U  F v l EI 3 v U 3     bzw. F = c . v  3 l F EI 3 1 v  , 3 l EI 3 c   Auch hier resultiert also dieselbe Beziehung, die das typische Federverhalten beschreibt. Analog kann die Deformationsmethode auf ein beliebiges System von Strukturelementen angewendet werden, welche untereinander die kinematischen Randbedingungen erfüllen. Dies garantiert Gleichgewicht in deformiertem Zustand, nicht notwendigerweise aber die Kontinuität bzw. Kompatibilität der Spannungen. Die Deformationsmethode bildet die Grundlage der Methode der Finiten Elemente. Die Steifigkeitsparameter einzelner Elemente, und somit des Gesamtmodells, erlauben dort die Ermittlung unbekannter Deformationsgrössen (Verschiebungen und Rotationen) in ausgewählten Punkten (Erster Satz von Castigliano) F x v F 19 (sogenannten Knoten) und anschliessend in der ganzen Struktur. Diese wiederum dienen zur Bestimmung der zugehörigen Verzerrungen und Beanspruchungsgrössen. Das folgende Schema veranschaulicht die Entstehung der Steifigkeitsbeziehung bei einem symbolischen finiten Element. Selbstverständlich liegt jedem Element ein Verschiebungsansatz zugrunde, nach welchem die Deformationen im Inneren eindeutig den Knotenverschiebungen zugeordnet werden können und die Aufstellung der Formänderungsenergie erlauben. Die angesprochenen Verschiebungsansätze sind für die Funktionsweise der Elemente von grundlegender Bedeutung. Je nach Einsatzzweck können äusserlich völlig gleich aussehende Elemente durchaus unterschiedliche Ansatzfunktionen haben und zur Simulation unterschiedlicher Strukturen dienen. Auch die den Knoten zugeordneten Verschiebungen und Rotationen sind von Fall zu Fall ganz verschieden. Die charakteristischen Eigenschaften mechanischer Strukturen, welche auch fürs Verständnis der finiten Elemente wichtig sind, werden im nächsten Abschnitt aufgefrischt.  x ,  y ,  xy Knotenkräfte Knotenverschiebungen Verzerrungsberechnung Spannungsberechnung 2 3 4 1 Ermittlung statisch äquivalenter Knotenkräfte Beschreibung des Verschiebungsz ustandes  x ,  y ,  xy Ergebnis: Linearer Zusammenhang zwischen Knotenkräften und Knotenverschiebungen 20 Charakteristische Eigenschaften typischer Strukturen 2.7 2.7.1 Dreidimensionale, zweidimensionale und eindimensionale Kontinua Dreidimensionales Kontinuum: Flächentragwerk (Zweidimensionales Kontinuum, zeichnet sich durch kleine Dicke im Vergleich zu den Längenabmessungen aus.): Mittelfläche eben Mittelfläche gekrümmt Belastung senkrecht zur Mittelfläche Belastung in der Mittelfläche Platte Scheibe Schale und Membran Eindimensionales Kontinuum: Bezugslinie gerade Bezugslinie gekrümmt Balken Dehnstab und Torsionsstab Bogen Bild 2-16: Übersicht über mechanische Kontinua 21 Zur näheren Erläuterung werden die wichtigsten Merkmale dieser Kontinua im folgenden kurz zusammengefasst. Stab: Ein Stab, genauer ein Zug-Druck-Stab, ist ein eindimensionales ”Tragwerk“ mit der Eigenschaft, nur axiale Kräfte aufzunehmen. Seine Steifigkeit wird durch seine Querschnittsfläche und sein Material (genauer: Elastizitätsmodul) bestimmt. Analog weist ein Torsionsstab eine bestimmte Torsionssteifigkeit (Schubmodul x polares Flächenträgheitsmoment) für die Aufnahme des Torsionsmomentes auf. Balken: Obwohl von Geometrie her praktisch ein Stab, unterscheidet sich ein Balken hinsichtlich Belastung deutlich. Diese steht stets senkrecht auf die Balkenachse. Die massgebende Steifigkeit eines Balkens besteht aus dem Produkt Elastizitätsmodul x Flächenträgheitsmoment bezüglich Biegeachse. Scheibe: Ebenes Flächentragwerk, dessen Mittelfläche zugleich Belastungsebene ist. Steht also unter Zugund/ oder Druckspannungen, die über die Dicke der Scheibe konstant sind. Membrane: Räumliches Flächentragwerk, das Kräfte senkrecht zur Mittelfläche zulässt und analog zum eindimensionalen Seil nur unter Zugspannungen im Gleichgewicht sein kann. Ebenfalls hier bleiben die Spannungen über die Dicke konstant. Jeder spezifischen Belastung entspricht eine bestimmte Membrangeometrie. Schale: Räumliches Flächentragwerk, welches Kräfte sowohl innerhalb seiner Mittelfläche als auch senkrecht dazu aufnehmen kann. Eine Schale ist somit dehnbar und biegsam zugleich; sie kombiniert die Steifigkeiten einer Membrane oder Scheibe mit jener einer Platte. Aufgrund ihrer besonderen Bedeutung bei den Finite-Elemente-Anwendungen wird im nächsten Abschnitt auf die letztere etwas tiefer eingegangen (Mit den Stäben, Balken und Scheiben dürften die meisten Leser schon aus der Festigkeitslehre hinreichend vertraut sein). Platten Platten sind ebene Flächentragwerke, welche senkrecht auf ihre Mittelfläche belastet werden. Zwischen der Belastung p(x,y) und der zugehörigen Durchbiegung w(x,y) besteht jeweils ein eindeutiger Zusammenhang. Im folgenden wird die sogenannte „Plattentheorie 1. Ordnung“ kurz zusammengefasst. Der Mittelfläche einer dünnen Platte mit konstanter Dicke h gilt gemäss dieser Sichtweise als undehnbar. D.h. sie kann sich zwar unter Lasteinwirkung deformieren, ihr Flächenmass ändert sich aber nicht. Die Belastung kann als Flächenlast p(x,y) oder aber auch punktuell (als Einzellast) angreifen. Die 22 Durchbiegung w und deren Ableitungen nach x und y bilden die typischen Deformationsgrössen. Die Annahmen, die dieser Theorie 1. Ordnung gemäss Mindlin zugrundeliegen und das charakteristische Tragverhalten einer dünnen homogenen Platte beschreiben, können wie folgt kurz zusammengefasst werden. Annahmen  h ist klein gegenüber anderen Abmessungen  Normale zur Mittelfläche bleibt normal, d.h.  Querschnitte bleiben eben  Die Schubverzerrungen  xz und  yz werden vernachlässigt  Dehnungen proportional zum Abstand von der Mittelfläche ( x ,  y linear veränderlich über die Dicke, somit auch die Spannungen  x ,  y )  Durchbiegungen w sind klein gegenüber der Plattendicke h  Die Dehnung der Mittelfläche wird vernachlässigt, damit auch die Membranspannungen  Die Spannungen  z werden vernachlässigt n n  z p -p z y x p(x,y) h w(x,y) Mittelfläche (Durchbiegung) 23 Zusammenhang zwischen Durchbiegung und Dehnungen Verzerrungen (Dehnungen und Schubdeformation): xx 2 2 z x w, z x w z x u            yy 2 2 z y w, z y w z y v ε           xy 2 z z xy w, 2z y x w 2z x v y u                P (x, y, z) z h u x w z z P ' w x w   x w   x w z u z     : Verschiebung von P in x- Richtung y w z v z     : Verschiebung von P in y- Richtung y x w, x w    kleiner Winkel ! w: Verschiebung von P in z-Richtung 24 Zusammenhang zwischen Spannungen und Dehnungen Ebener Spannungszustand:                         2 2 2 2 2 y x 2 x y w x w - 1 E z ε ε - 1 E σ                         2 2 2 2 2 x y 2 y x w y w - 1 E z ε ε - 1 E σ   y x w 1 E z 1 2 E 2 xy xy                 z ,  xz ,  yz werden vernachlässigt!  xz ,  yz wären Schubspannungen aus Querkraft, d.h.       h 2 1 h 2 1 xz xz x dz τ Q Q       h 2 1 h 2 1 yz yz y dz τ Q Q , jedoch werden diese bei dünnen Platten analog zu  z vernachlässigt.  x ,  y : Biegespannungen aus Biegemoment  xy ,  yx : Drillspannungen aus Drillmoment Resultierende Schnittkräfte:                      h 2 1 h 2 1 2 2 2 2 x x y w x w -D dz z σ M                      h 2 1 h 2 1 2 2 2 2 y y x w y w -D dz z σ M *   y x w 1 -D dz z τ M 2 h 2 1 h 2 1 xy xy             x y z  yz  yx  xy  xz  y  x  z p p 25 wobei   2 3 1 12 Eh D    (Plattensteifigkeit) Maximale Normal- und Drillspannungen treten bei z=h/ 2 auf. 2 x x h 6M σ   2 y y h 6M σ   2 xy xy h 6M τ   Ein Vergleich zwischen Balkenbiegesteifigkeit E 12 h 1 D 3 Balken   mit jener einer Platte, d.h.   2 3 Platte - 1 12 h E D    zeigt, dass die Platte  infolge behinderter Querdehnung  um   2 - 1 1  grössere Steifigkeit aufweist ! Herleitung der Differentialgleichung Gleichgewichtsbetrachtung am differentiellen Element dx . dy der Mittelfläche: Deformation eines Balkenquerschnitts mit unbehinderter Querdehnung M xy M x Q y M y M yx y x M y + dM y z Q y + dQ y Q x M yx + dM yx Q x + dQ x M xy + dM xy M x + dM x p dx dy M 26 0 dxdy p dydx y Q dxdy x Q : 0 ΣF y x iz            0 dxdy Q dxdy x M dydx y M - : 0 ΣM y y x y ix            0 dxdy Q dydx y M dxdy x M : 0 ΣM x yx x iy            0 Q y M x M x yx x        M xy = M yx ! 0 Q y M x M y y xy        0 p y Q x Q y x        Ableiten der ersten zwei Gleichungen nach x, resp. nach y, Einsetzen in die dritte Gleichung: -p y M y x M 2 x M 2 y 2 xy 2 2 x 2           Mit den Schnittkräften (*) folgt anschliessend D p y w y x w 2 x w ∆∆w 4 4 2 2 4 4 4            Analogie zur Balkenbiegung: EI M x w 2 2     p x M 2 2     Balken 4 4 D p EI p x w     Bekanntlich kann die Lösung der oben hergeleiteten partiellen Differentialgleichung der Platte nur für einige wenige geometrische Formen (z.B. Kreis) und auch dann nur für ausgewählte Lastfälle (z.B. gleichmässiger Druck) exakt ermittelt werden. Naheliegenderweise bietet sich da die FE-Methode als eine leistungsfähige Alternative an und wird  z.B. von Bauingenieuren  seit über zwei Jahrzehnten mit Erfolg eingesetzt. 27 Ein eindimensionaler elastischer Körper: Feder 2.8 Wir betrachten nun die lineare Zug-Druck-Feder als das einfache Finite Element für den ”Modellbau“ und wollen dabei die Entstehung von Matrizengleichungen zwischen Kräften und Verschiebungen aufzeigen. In einem weiteren Schritt werden wir den Vorgang am Beispiel eines Systems von Federn wiederholen. Wird zunächst der Knotenpunkt dieser Feder festgehalten, d.h. u 2 = 0 gesetzt, so ist F 1 die äussere Kraft und F 2 die Reaktionskraft. Es gilt bekanntlich F 1 = c u 1 und die Gleichgewichtsbedingung liefert F 1 = -F 2 = c u 1 . Analog folgt, wenn u 1 = 0 gesetzt wird F 2 = c u 2 = - F 1 . Insgesamt können aus diesen beiden möglichen Verschiebungszuständen zwei allgemeinere Gleichungen für die Feder gewonnen werden: F 1 = c u 1 c u 2 F 2 = c u 2 c u 1 . In Form einer Matrizengleichung schreiben sich diese beiden Beziehungen als                    2 1 2 1 u u c c c c F F und es ist die Steifigkeitsmatrix einer Feder mit der Federkonstante c somit        1 1 - 1 - 1 c k F 1 F 2 u 1 u 2 c 1 2 2 28 Hintereinanderschaltung zweier Federn Wir betrachten zunächst die Federn I und II einzeln und überlagern anschliessend die analogen Aussagen: u 1 = u 2 = 0 : F 3 = c II u 3 , F 2 = -F 3 , F 1 = 0 , u 1 = u 3 = 0 : F 2 = (c I + c II ) u 2 , F 1 = -c I u 2 , F 3 = -c II u 2 , u 2 = u 3 = 0 : F 1 = c I u 1 , F 2 = -F 1 , F 3 = 0 F 1 = c I u 1 c I u 2 F 2 (II) = c II u 2 c II u 3 F 2 (I) = -c I u 1 + c I u 2 F 3 = -c II u 2 + c II u 3 Diese Steifigkeitsbeziehungen lassen sich ebenfalls in Matrizenform darstellen:                                3 2 1 I I I I ) I ( 2 1 u u u 0 0 0 0 c c - 0 c c 0 F F                                3 2 1 II II II II 3 ) II ( 2 u u u c c - 0 c c 0 0 0 0 F F 0            0 0 0 0 c c - 0 c c ) u ( ) u ( ) u ( k I I I I 3 2 1 ) I (            II II II II 3 2 1 ) II ( c c - 0 c c 0 0 0 0 ) u ( ) u ( ) u ( k                                 3 2 1 II II II II I I I I 3 2 1 u u u c c - 0 c c c c - 0 c c F F F F 1 F 2 c I 1 2 F 3 c II 3 F 1 F 2 (II) c I 1 2 F 3 c II 3 2 F 2 (I) 29 Der Kraftvektor F und der Verschibungsvektor a sind also über eine globale Steifigkeitsmatrix K, d.h.:             II II II II I I I I c c - 0 c c c c - 0 c c K verknüpft. Die Gleichung ist bei bekannter Belastung und Randbedingung (boundary condition) lösbar. Es seien F 1 und F 2 gegeben und u 3 = 0:                     2 1 II I I I I 2 1 u u c c c c c F F                           2 1 II II II II I 2 1 F F c 1 c 1 c 1 c 1 c 1 u u          2 1 II 3 u u c - 0 F     ) F F ( - F F 1 - 1 - F F c 1 c 1 c 1 c 1 c 1 c - 0 F 2 1 2 1 2 1 II II II II I II 3                              Somit wären sowohl die unbekannten Verschiebungen u 1 und u 2 als auch die unbekannte Reaktionskraft F 3 am “Lager” (Knoten 3) bestimmt. In einem weiteren Schritt kann man auch die Federkräfte selbt ermitteln: Die innere Kraft einer linearen Feder entspricht S = c u Übertragen auf den vorliegenden Fall, ergeben sich daraus K  a = F S I = c I (u 2 - u 1 ) = -F 1 S II = c II (u 3 - u 2 ) = -(F 1 + F 2 ) 30 Alle obigen Überlegungen lassen sich ohne weiteres auch für einen Zug- Druck-Stab anstellen. Nun wollen wir also einen solchen Stab als Feder betrachten: Federkonstante: l AE c                     2 1 2 1 u u 1 1 - 1 - 1 l AE F F              2 1 * u u 1 1 - 1 - 1 l AE F * * * a k F  Diese Matrizengleichung ist identisch mit derjenigen für eine Feder. Genau genommen, sind die beteiligten Grössen in einem lokalen Koordinatensystem (Elementkoordinatensystem) ausgedrückt. Gewöhnlich treffen wir auf Zug- Druck-Stäbe bei Fachwerken, wobei die räumliche Ausrichtung einzelner Stäbe beliebig sein kann. Dies zeigt die Notwendigkeit auf, die Kräfte, Verschiebungen, etc. in einem globalen Koordinatensystem einheitlich darzustellen, um die gesamte Wechselwirkung zu erfassen. Dazu bieten sich die Transformationsmatrizen an. y x* y*  2 1 x F 1 F 2 u 1 u 2 l 1 2 AE 31                                           * 2 * 2 * 1 * 1 * y * x * y * x v u v u 0 0 0 0 0 1 0 1 - 0 0 0 0 0 1 - 0 1 AE F F F F 2 2 1 1 l                                           2 2 1 1 2 2 1 1 y x y x * y * x * y * x F F F F cosα sinα - 0 0 sinα cosα 0 0 0 0 cosα sinα - 0 0 sinα cosα F F F F F T F *  * 1 F T F   a T a *  * 1 a T a   Transformationsmatrix:              cosα sinα - 0 0 sinα cosα 0 0 0 0 cosα sinα - 0 0 sinα cosα T Man kann zeigen dass die inverse und die transponierte Matrix von T übereinstimmen. t 1 T T   a T k F T *  a k a T k T F * t   T k T k * t               0 0 0 0 0 1 0 1 - 0 0 0 0 0 1 - 0 1 AE k * l                2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 * s cs s cs cs c cs c s cs s cs cs c cs c ) (v ) (u ) (v ) (u AE k l 32 Beispiel: Einfaches Fachwerk als mechanisches Modell 0 1 0 1 0 90 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 45 3 1 0 0 1 0 1 0 2 1 cs s c s c Stab 2 2                                0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 ) (v ) (u ) (v ) (u ) (v ) (u AE k 3 3 2 2 1 1 2 1 l                         1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) (v ) (u ) (v ) (u ) (v ) (u AE k 3 3 2 2 1 1 3 2 l 1 2 3 F= 1000N l x y F 33                                         2 1 2 1 0 0 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 0 0 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 2 1 2 1 ) (v ) (u ) (v ) (u ) (v ) (u 2 AE k 3 3 2 2 1 1 3 1 l Gesamtsteifigkeitsmatrix:                                                2 2 1 1 2 2 1 1 0 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 0 0 2 2 1 2 2 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 2 1 2 2 1 0 0 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 0 1 2 2 1 2 2 1 1 ) (v ) (u ) (v ) (u ) (v ) (u AE K 3 3 2 2 1 1 l Man achte darauf, dass diese Matrix quadratisch und zugleich symmetrisch ist, was in dem Reziprozitätsprinzip gründet. Nun sehen wir uns noch die Lösung der entsprechenden Gleichungen an: Auflagerbedingungen: u 2 = 0, u 3 = v 3 = 0 2 2 1 λ                                                                                               3 3 2 2 1 1 y 3 x 3 x 2 v u v u v u 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 AE F F 0 F F 0 l 34                                   2 1 1 v v u 1 0 0 0 λ λ 0 λ λ 1 c 0 F 0  v 2 = 0 c F λ λ 1 v 1     c F u 1  Bestimmung der Lagerreaktionen:                                       2 1 1 3y 3x 2x v v u 1 λ λ 0 λ λ 0 0 1 c F F F  F 2x = -F F 3x = F F 3y = F Schliesslich ergeben sich die Stabkräfte wie folgt: S 1-2 = -F S 2-3 = 0 F 2 S 3 1   Bei diesem einfachen Beispiel war ein kleines Gleichungssystem mit nur zwei Unbekannten zu lösen, was ja noch keine Kunst bedeutet. Hätten wir ein Fachwerk mit einer grösseren Anzahl (z.B. einige Hundert) von Stäben zu behandeln, so wäre es unumgänglich, von einem leistungsfähigeren Lösungsalgorithmus Gebrauch zu machen. Solche numerischen Werkzeuge eignen sich natürlich nicht nur für Fachwerke, sondern auch für beliebige finite Elemente Modelle. Sie sind gewöhnlich in die FE-Programme integriert. In der Regel braucht sich der Benutzer keine Gedanken über die numerischen Kunststücke im Hintergrund zu machen. Exemplarisch wird jedoch im nächsten Abschnitt die Funktionsweise der sogenannten Cholesky-Zerlegung näher erläutert. Lösung der Matrizengleichungen in der Mechanik 2.9 2.9.1 Cholesky-Zerlegung Dank deren Eigenschaft, quadratisch und symmetrisch zu sein, können Steifigkeitsmatrizen (K), denen wir in den Gleichungssystemen K . x = f (x: Verschiebungsvektor, f: Vektor der äusseren Kräfte) 35 begegnen, auf eindeutige Weise in eine untere und eine obere Dreiecksmatrix zerlegt werden. Die untere Dreiecksmatrix (L) besteht aus Nullen für L ij (j>i), die obere (U) ebenfalls, aber für i<j. Alle Diagonalelemente L ii betragen 1. Es gilt dann K=L . U L . U x = f              1 L L 0 1 L 0 0 1 L 2 n 1 n 21                    nn n 2 22 n 1 12 11 U 0 0 U U 0 U U U U       Definition: y Ux  (unter Verzicht auf die Unterstreichung von U, x, y und f, zur Hervorhebung von deren Matrizenbzw. Vektoreigenschaft)  f Ly  Beachtet man die Struktur von L, so ist es selbsterklärend, dass somit in einem ersten Schritt alle y i der Reihe nach bestimmt werden können. D.h. 1 1 f y    n ,..., 3 , 2 i , y L f y 1 i 1 j j ij i i       Nun folgt der zweite Lösungsschritt, das sogenannte “Rückwärtseinsetzen”: nn n n U y x  ) 1 ,..., 2 n , 1 n i ( , U x U y x ii n 1 i j j ij i i         Das ganze Vorgehen funktioniert ohne Invertierung von Matrizen oder sonstigen komplizierten Operationen und gewährleistet eine hohe numerische Genauigkeit. Im folgenden werden die Einzelheiten der Zerlegung aufgeführt. Daraus geht hervor, wie die Elemente von L und U mit jenen von K zusammenhängen bzw. wie ihre Besetzung genau definiert ist. 36 K 11 K 12 K 13 L 11 = 1 U 11 = K 11 K 21 K 22 K 23 K 31 K 32 K 33 K 12 K 13 1 0 U 11 U 12 = K 12 K 21 K 22 K 23 L 11 = K 21 / U 11 L 22 = 1 0 U 22 = K 22 - L 21 U 12 K 31 K 32 K 33 K 13 1 0 U 11 U 12 U 13 = K 13 K 23 L 21 1 0 U 22 U 23 = K 23 - L 21 U 13 K 31 K 32 K 33 L 31 L 32 L 33 = 1 0 0 U 33 = K 33 - L 31 U 13 - L 32 U 23 L 31 = K 31 / U 11 L 32 = (K 32 - L 31 U 12 )/ U 22 Durch Anwendung dieses Vorgehens auf eine symmetrische 3 x 3 Matrix wollen wir uns überzeugen, dass die Cholesky-Zerlegung funktioniert. Beispiel K L U 4 2 1 1 4 2 4 2 1 2 4 Schritt 1: L 11 = 1; U 11 = 4 2 1 1 4 2 2 4 2 0.5 1 3 1 2 4 Schritt 2: L 21 = 4 2 = 0.5; U 12 = 2; L 22 = 1; U 22 = 4-0.52=3 Aktive Zone Aktive Zone Reduzierte Zone Aktive Zone Reduzierte Zone 37 1 1 4 2 1 2 0.5 1 3 1.5 1 2 4 0.25 0.5 1 3 Schritt 3: L 31 = 4 1 = 0.25; U 13 = 1; L 32 = 3 2 0.25 - 2  = 3 5 . 1 = 0.5; U 23 = 2-0.51=1.5; L 33 = 1; U 33 = 4-0.251-0.51.5 = 3                                4 2 1 2 4 2 1 2 4 3 5 . 1 3 1 2 4 1 5 . 0 25 . 0 1 5 . 0 1 Schritt 4: Kontrolle ( L . U = K erfüllt! ) Ein weiterer eindimensionaler mechanischer Körper: 2.10 Balken (“Blattfeder”) In Analogie zum Zug-Druck-Stab betrachten wir nun einen Balken mit dem typischen Deformationsverhalten. Dabei machen wir die Einschränkung, dass die Schubbzw. Querkräfte und die Momente nur in den Endpunkten angreifen dürfen. Folgende Bilder veranschaulichen einen solchen Balken mit zuy M 1 M 2 Q 2 x 1 2 Q 1 E I l M 1 M 2 Q 2 x y 1 2 Q 1 v 1  1  2 v 2 38 gehörigen Kräften und Momenten, zunächst in unverformtem und anschliessend in verformtem Zustand, mit vier charakteristischen Deformationsgrössen: je eine Verschiebung (Durchbiegung) und Verdrehung (Neigung) pro Endpunkt (Knoten). Für einen einfachen, einseitig eingespannten Balken stehen aus der Festigkeitslehre folgende Formeln zur Verfügung, durch welche die Durchbiegung und die Verdrehung in Abhängigkeit von Kräften und Momenten ausgedrückt werden können. Durchbiegung Verdrehung   EJ 3 l Q 3 EJ 2 l Q 2 EJ 2 l M 2 EJ l M Dabei steht EJ für die Biegesteifigkeit des Balkens. Diese Beziehungen lassen sich dazu verwenden, eine kompakte Steifigkeitsbeziehung zwischen den angesprochenen Belastungs- und Verformungsgrössen in Matrizenform aufzustellen. Denkt man sich bei unserem Balken gemäss Darstellung auf der vorangehenden Seite das linke Ende (1) eingespannt, d.h. 0 v 1 1    und das rechte (2) durch die Kraft Q 2 und das Moment M 2 belastet, so ergeben sich daraus durch die Überlagerung: EJ 2 M EJ 3 Q v 2 2 3 2 2     EJ M EJ 2 Q 2 2 2 2      Solche Gleichungen lassen sich bekanntlich in eine Matrizenbeziehung umwandeln:                                   2 2 22 2 2 2 2 3 2 2 v k v 4 6 6 12 EJ M Q     k 22 oben bedeutet die zugehörige Steifigkeitsmatrix. Aus Gleichgewichtsüberlegungen kann man noch eine weitere Matrizengleichung gewinnen: EJ, l Q EJ, l M 39 0 Q Q 2 1   0 M M Q 2 1 2                           2 2 1 1 M Q 1 0 1 EJ M Q                                    2 2 12 2 2 2 2 3 1 1 v k v 2 6 6 12 EJ M Q     Wir wiederholen jetzt die obigen Schritte für den umgekehrten Fall, bei dem das rechte Ende des Balkens eingespannt sei, d.h. 0 v 2 2    Am linken Ende wirke eine kombinierte Belastung bestehend aus Q 1 und M 1 . Es gilt dann analog EJ 2 M EJ 3 Q v 2 1 3 1 1     EJ M EJ 2 Q 1 3 1 1      bzw. nach Umwandlung                                 1 1 11 1 1 2 2 3 1 1 v k v 4 6 6 12 EJ M Q     Durch Zuhilfenahme von Gleichgewichsbedingungen 0 Q Q 2 1   0 M M Q 2 1 1      erhalten wir schliesslich                                                  1 1 21 1 1 2 2 3 1 1 2 2 v k v 2 6 6 12 EJ M Q 1 0 1 EJ M Q      Die oben ermittelten vier Matrizengleichungen lassen sich in Form einer einzigen Gleichung schreiben, wobei sich die Steifigkeitsmatrizen k 22 , k 21 , k 12 und k 11 als Teile einer Gesamtsteifigkeitsmatrix K e herausstellen. 40                                  2 2 1 1 22 21 12 11 2 2 1 1 v v k k k k M Q M Q F = K e . a                                              4 6 2 6 6 12 6 12 2 6 4 6 6 12 6 12 v v EJ K 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 1 1 e Der hochgesetzte Index e bedeutet, dass es sich bei dieser Matrix um die Steifigkeit eines einzelnen balkens handelt. Somit haben wir gesehen, dass auch bei einem Balken bzw. einer Blattfeder die allgemeinen “Knotenkräfte” (Q 1 , M 1 , Q 2 und M 2 ), darstellbar als Vektor F, und die allgemeinen “Knotenverschiebungen” (v 1 ,  1 , v 2 und  2 ), darstellbar als Vektor a, über eine Steifigkeitsmatrix verknüpft sind. Naheliegenderweise führt auch die Behandlung eines Systems von Balken,  z.B. wie das unten skizzierte Rahmentragwerk  zu einer analogen Matrizengleichung. Dabei entsteht durch die Überlagerungen  gegebenenfalls durch Verwendung zugehöriger Transformationsmatrizen  eine globale Steifigkeitsmatrix K für das Gesamtsystem. Man achte darauf, dass das System in genügende Anzahl Balken unterteilt werden muss, damit als Angriffspunkt für äussere Lasten, als Lager, als innere Schweiss- oder Gelenkverbindung immer wieder ein Knoten zur Verfügung stehen kann.  Aufgabe: Man bestimme die Lagerreaktionen in A und C dieses Trägers (siehe auch Hinweise auf der nächsten Seite). F = K . a l l q 2 = 2q q 1 = q A C B EI 41 Ersatz äusserer Kräfte und Momente durch 2.11 konsistente Knotenbelastung Im vorangehenden Abschnitt wurde darauf hingewiesen, dass die Belastungen in den Knoten angebracht werden müssen, damit ein System von Balken mittels Matrizenformulation behandelt werden kann. Wirken die effektiven Kräfte und Momente anders, z.B. als Streckenlast, so sind sie in konsistente Knotenlasten umzurechnen. Das Kriterium dafür ist die Äquivalenz der Formänderungsenergien in der effektiven und der Ersatzkonfiguration der Last. Nachstehende Bilder zeigen, wie die äquivalenten Knotenlasten für einige typische Balkenlastfälle aussehen. Selbstverständlich würde sich die Frage auch dann stellen, wenn z.B. Systeme von Platten oder dreidimensionale Bricks (Solids) als mechanische Körper durch Matrizendarstellung zu behandeln wären. Je nach Anzahl Knoten pro Körper, welche bei der Diskretisierung gewählt werden, gibt es auch dann eine eindeutige Zuordnung von allgemeinen  z.B. über die Fläche gleichmässig verteilt wirkenden  Kräften zu entsprechenden Knotenlasten. Die Bilder auf der nächsten Seite veranschaulichen solche Umverteilungen für den Fall der gleichmässigen Flächen- oder Volumenbelastung. Hiermit wollen wir noch darauf hinweisen, dass bei der Matrizenformulierung auch die Randbedingungen in den Knoten ausgedrückt werden müssen. Schon eine Platte, die z.B. allseitig eingespannt ist, kann also nicht mehr exakt nachgebildet werden. Wenn man in Kauf nimmt, dass die Verschiebungen und Verdrehungen nur in den Knoten mit der vermeintlichen Wirklichkeit überein- 1 2 L 1 2 P 1 2 42 stimmen und längs der Ränder nicht vorgeschrieben werden dürfen, hat man den Schritt von Systemen mechanischer Körper zu Modellen aus finiten Elementen vollzogen. Finite Elemente sind numerische Modelle als Ersatz für mechanische Körper, welche die Stetigkeit der Deformationsgrössen (Verschiebungen und Verdrehungen) nur in den Knoten gewährleisten. Deren Zusammenhalt untereinander führt zu einem mechanischen Ersatzsystem. Es versteht sich, dass die Genauigkeit eines solchen Systems mit zunehmender Anzahl Knoten und / oder zunehmender Anzahl Elemente verbessert werden kann. Finite Elemente können je nach Einsatzzweck ein-, zwei- oder dreidimensional sein. Es gibt auch deren Varianten mit oder ohne Zwischenknoten. Die Tabelle auf der nächsten Seite bietet dazu eine Übersicht. Auf die darin enthaltenen Hinweise auf Ansatzfunktionen wird im nächsten Kapitel näher eingegangen. 43 Übersicht: Finite Elemente für ein-, zwei- oder dreidimensionale Probleme Grundform Verschiebungsansatz eindimensional zweidimensional dreidimensional Rechteck linear schiefwinkliges Viereck linear Rechteck quadratisch krummliniges Viereck quadratisch Dreieck linear Dreieck quadratisch krummliniges Dreieck quadratisch 44 3 Finite Elemente als Ersatz für elastische Körper Bei einer linearen Feder oder einem Zug-Druck-Stab als mechanische Körper ist es plausibel, dass die Verschiebungen beliebiger Punkte im Inneren eindeutig zu den Verschiebungen der Endpunkte (Knoten) zugeordnet werden können. Betrachten wir diese Zuordnung als einen mathematischen Zusammenhang (Verschiebungsfunktion) im lokalen Koordinatensystem des Körpers und beziehen sie in die Matrizenformulation mit ein, so machen wir daraus ein finites Element. Nur in wenigen Fällen können Verschiebungsfunktionen aufgestellt werden, welche das Deformationsverhalten vollständig bzw. exakt beschreiben, wie bei einem Zug-Druck-Stab, einem Balken mit Kräften und Momenten nur in den Endpunkten oder bei einer dreieckigen Scheibe im ebenen Spannungszustand. In anderen Fällen handelt es sich um eine ansatzweise Näherung gestützt auf strukturbezogene Annahmen. Deshalb scheint die Bezeichnung Ansatzfunktion statt Verschiebungsfunktion angebracht zu sein. Zudem können die angesprochenen mathematischen Ausdrücke nicht nur für die inneren Verschiebungen, sondern  je nach Elementtyp  auch für die Verdrehungen verwendet werden. Im folgenden werden wir uns mit einer Auswahl typischer mechanischer Körper näher befassen, um deren Funktionsweise als finite Elemente besser zu verstehen. Dabei wird auch der approximative Charakter der FE-Methode klarer werden. Nicht immer wird es nämlich gelingen, vollständige Ansatzfuntionen zu finden. Zuerst werden ein Stab- und ein dreieckiges Scheibenelement behandelt. Anschliessend folgt ein rechteckiges Plattenelement. Dem Leser wird empfohlen, übungshalber das Balkenelement selber zu behandeln. Lineares Stabelement 3.1 Bekanntlich herrscht im Inneren eines prismatischen Zug-Druck-Stabs (d.h. eines solchen mit konstantem Querschnitt) eine konstante, von der lokalen Lagekoordinate x unabhängige Dehnung. Die Längsverschiebung u verändert sich demzufolge als lineare Funktion von x. Wir nennen diese Verschiebungsfunktion u(x) =  1 +  2 x ( 1 und  2 sind Konstanten) 45 L x 1 L x “Ansatzfunktion” und betrachten ihren Aufbau etwas näher: Die Konstanten  1 und  2 sind so zu bestimmen, dass die Funktion in den Knoten i und j dieselben Verschiebungen ergibt wie u i und u j . Wären u i  0 und u j = 0, sollte eine von i nach j linear abfallende Funktion vorliegen. Im umgekehrten Fall, d.h. bei u i = 0 und u j  0, erwarten wir eine solche, die von 0 in i auf uj in j ansteigt. Es liegt also auf der Hand, dass der allgemeine Fall (u i  0, u j  0) durch eine gewichtete Summe zweier linearer Funktionen gemäss Bild (siehe oben) dargestellt werden kann: j i u L x u ) L x 1 ( ) x ( u    bzw. u(x) = [1- L x L x ]       j i u u = [N i N j ]       j i u u  u = N . a Definition: N: Matrix der Interpolationsfunktionen (bzw. “Formfunktionen”) Die Matrix N stellt zwischen dem Vektor u, der in diesem Fall aus nur einem Glied besteht, und den in einem Vektor a zusammengefassten Knotenverschiebungen des Elementes einen eindeutigen Zusammenhang her. Führen wir die Gedankengänge konsequent weiter, so erhalten wir für die Verzerrung (Dehnung) und - über das Materialgesetz - für die Spannung  = u, x = N, x a = [ L 1  L 1 ]       j i u u = B . a, was nichts anderes heisst als L u u i j    und i j x 1 1 L 46  = D .  = D . N, x . a = D . B . a (D: Elastizitätsmatrix, in diesem Fall bestehend aus einem einzigen Glied, nämlich dem E-Modul) In Anlehnung an diese Dehnungs- und Spannungsausdrücke kann man die Formänderungsenergie dieses Stabs aufstellen: U = 2 1    V dV . . = 2 1 A . L a T B T D . B . a = 2 1 L EA [u i u j ]               j i u u 1 1 1 1 = 2 1 L EA (u j -u i ) 2 Gemäss dem Satz von Castigliano gilt: i i F u U    bzw. j j F u U           j i F F = L EA               j i u u 1 1 1 1 Hier erkennen wir wieder die vertraute Struktur F = K . a mit der Steifigkeitsmatrix des Stabelementes K = L EA         1 1 1 1 welche sich bei näherer Betrachtung als das Volumenintegral  V T DBdV B erweist. Sind die Geometrie und das Materialverhalten des Stabelementes bekannt, kann man also  gestützt auf die spezifische Ansatzfunktion  durch ein im Voraus definierbares Integral die zugehörige Steifigkeitsmatrix bestimmen. Man merke sich die allgemein gültige, d.h. auch für andere Elementtypen verwendbare Beziehung K =  V T DBdV B Solche Integrale werden in den FE-Programmen numerisch ausgeführt. Je nach Elementtyp wird dazu eine unterschiedliche Anzahl von Gaussschen Integrationspunkten gebraucht, welche programm-intern, d.h. ohne Einflussnahme seitens des Benützers, nahe bei den Elementknoten gewählt werden. Die abgeleiteten Zielgrössen wie Spannungen und Dehnungen werden in denselben Punkten ausgewertet und auf die zugehörigen Knoten extrapoliert. V 47 Lineares, rechteckiges Scheibenelement 3.2 3.2.1 Elementsteifigkeitsmatrix Nun betrachten wir ein weiteres einfaches finites Element, diesmal mit vier Knoten und zwei Verschiebungs-Freiheitsgraden pro Knoten. Solche Elemente können gemäss Bild (siehe unten) zur Modellierung einer Scheibe bzw. eines Flächentragwerks mit ebenem Verschiebungszustand verwendet werden. Das typische Element, auf das wir uns im Folgenden beziehen wollen, habe die Knoten i, j,k und l. Die Verschiebungskomponenten der Knoten dieses Elementes werden in den Knotenverschiebungsvektor geschrieben:                    l l i i K v u ... v u q Für die inneren Verschiebungen im Element werden (bi-)lineare Ansatzfunktionen gewählt. Eine Wahl von quadratischen Ansatzfunktionen in Form von  1 +  2 x +  3 y+  4 xy+ 5 x 2 +  6 y 2 führte zwar zu einer genaueren Interpolation der Verzerrungen im Element, brächte aber für u und v je 6 Koeffizienten mit sich, welche mit nur 4 Knoten nicht bestimmt werden könnten. 48 u(x, y) =  1 +  2 x +  3 y+  4 xy v(x, y) =  5 +  6 x +  7 y+  8 xy Die Koeffizienten werden wie beim Stabelement so bestimmt, dass die Funktionen u und v die Randbedingungen in den Knoten i bis l erfüllen: u i =  1 +  2 x i +  3 y i +  4 x i y i v i =  5 +  6 x i +  7 y i +  8 x i y i u j =  1 +  2 x j +  3 y j +  4 x j y j v j =  5 +  6 x j +  7 y j +  8 x j y j u k =  1 +  2 x k +  3 y k +  4 x k y k v k =  5 +  6 x k +  7 y k +  8 x k y k u l =  1 +  2 x l +  3 y l +  4 x l y l v l =  5 +  6 x l +  7 y l +  8 x l y l Mit den daraus bestimmten Koeffizienten  1 bis  8 finden wir für die Verschiebungen im Element: u(x,y) = N i u i + N j u j + N k u k + N l u l v(x,y) = N i v i + N j v j + N k v k + N l v l mit :                 y b x a b a N y b x a b a N y b x a b a N y b x a b a N l k j i                             4 1 4 1 4 1 4 1 Interpretiert man die in den Funktionen für u und v enthaltenen Multiplikatoren N als Interpolationsfunktionen, welche die Gewichtung der Anteile aus diesen Knotenverschiebungen regeln, so kann man das beim Stabelement besprochene Vorgehen auch hier anwenden und findet die Verschiebungsfunktionen in Vektorform: 49                                            l l k k j j i i l k j i l k j i K v u v u v u v u N 0 N 0 N 0 N 0 0 N 0 N 0 N 0 N q N ) y , x ( v ) y , x ( u ) y , x ( u Im Gegensatz zum Stab bilden diese Formfunktionen das wirkliche Verhalten der Scheibe nur sehr ungenau ab. Wenn man z.B. eine an drei Eckpunkten festgehaltene und am vierten durch eine Kraft F belastete quadratische Stahlscheibe gemäss Bild unten durch ein einziges Scheibenelement modelliert und dafür einer FE-Berechnung durchführt, so stellt sich die folgende Verformung heraus: i 1 j k l x y 50 Die Ansatzfunktionen bewirken eine bilineare Verformung des Elementes. Dies entspricht nur sehr grob der tatsächlichen Verformung. Es kann gezeigt werden, dass sich die Ergebnisse bei zunehmender Anzahl Elemente asymptotisch dem theoretisch richtigen Wert annähern. Diese Eigenschaft nennt man Konvergenz. Dies zeigt das folgende Bild anschaulich: Es ist die Aufgabe des Anwenders, bei jeder Simulation nachzuweisen, dass der Diskretisierungsfehler genügend klein ist. Darauf wird im Abschnitt 9.3 eingegangen. Mit den Interpolations- oder Formfunktionen kann die Elementsteifigkeitsmatrix wie beim Stabelement mit der Beziehung K =    V T dV B D B gefunden werden. Die B-Matrix wird aus der Ableitung der Formfunktionen bestimmt, die Spannungen ergeben sich dann für den ebenen Spannungszustand gemäss  = D B q, d.h.:                                                    x N y N x N y N x N y N x N y N y N 0 y N 0 y N 0 y N 0 0 x N 0 x N 0 x N 0 x N B l l k k j j i i l k j i l k j i                     2 1 0 0 0 1 0 1 1 E D 2 Bei dem hier gezeigten rechteckigen Scheibenelement ist die Integration zur Bestimmung der Komponenten der Steifigkeitsmatrix analytisch möglich. Bei beliebig geformten Vielecken und bei der Verwendung von anspruchsvolleren Ansatzfunktionen muss die Integration numerisch durchgeführt werden. 51 Rechteckiges Plattenelement 3.3 Als nächstes und zugleich letztes Beispiel eines einfachen finiten Elementes wollen wir uns noch ein rechteckiges Plattenelement mit den Kantenlängen 2a und 2b sowie der Dicke t anschauen. Da die Ausführungen in Anlehnung an die im Abschnitt 2.7.2 kurz zusammengefasste Plattentheorie und an die beiden vorangehenden Abschnitte relativ einfach verständlich sind, werden die begleitenden Erläuterungen auf ein Minimum beschränkt. Da pro Knoten 3 unabhängige Deformationsgrössen vorliegen, also insgesamt x, y- Ebene y x z t M x M y M xy y x z 2a 2b i l k j  x  y w                                                     i i i yi xi i i x w y w w w x                l k j i e x x x x x 52 3 x 4 = 12, kann die Ansatzfunktion für die Durchbiegung w nur 12 unbekannte Koeffizienten aufweisen. tion Ansatzfunk " le inkompatib " xy y x y xy y x x y xy x y x w 3 12 3 11 3 10 2 9 2 8 3 7 2 6 5 2 4 3 2 1                         Wie man sieht, ist dieses Polynom unvollständig bzw. abgeschnitten. Mit einem solchen Ansatz kann das Deformationsverhalten einer rechteckigen Platte, welche in den Eckpunkten durch die Momente M x , M y und M xy belastet ist, nicht wirklichkeitsgetreu wiedergegeben werden. Wohl wissend, dass dies für die finiten Elemente eher die Regel als die Ausnahme bildet, wollen wir die Behandlung dieses Ansatzes weiterverfolgen. Dabei setzen wir voraus, dass die Matrix der Interpolations-funktionen N i , N j , N k und N l  analog zum Scheibenelement  durch Randbedingungen bereits bestimmt seien. Vektor der verallgemeinerten Verzerrungen: e e Bx LNx    L: Differentialoperator, der die auf die Matrix N der Interpolationsfunktionen angewandten Ableitungen symbolisiert. (analog gibt es natürlich auch B j , B k und B l ) Vektor der verallgemeinerten Spannungen (pro Knoten! ):                 D M M M M xy y x wobei                               xy x 1 1 x 2 3 D 0 0 0 D D 0 D D 2 ) 1 ( 0 0 0 1 0 1 ) 1 ( 12 Et D die zugehörige Elastizitätsmatrix bedeutet. Die Steifigkeitsmatrix K schreibt sich als                             i 2 i 2 2 i 2 2 i N y x 2 N y N x B 53   4 xy 3 1 2 y 1 x K D K D K D K D L ab 60 1 K     mit                         a 2 0 0 0 b 2 0 0 0 1 mit 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L      Nachstehend werden noch der genaue Inhalt der Abkürzungen K 1 , K 2 , K 3 und K 4 sowie die vollständige Steifigkeitsmatrix K des Elementes wiedergegeben, um einen Eindruck von der zu erarbeitenden Parametermenge zu vermitteln, welche mit der Komplexität des Elementes beinahe exponentiell anwächst.                                                     20 0 30 10 0 15 10 0 30 5 0 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 60 15 0 30 30 0 60 15 0 30 20 0 30 5 0 15 10 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 60 15 0 30 30 0 60 20 0 30 10 0 15 0 0 0 0 0 60 15 0 30 20 0 30 0 0 60 p K 2 1                                                    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 30 0 10 30 0 10 15 0 5 15 60 0 30 60 0 15 30 0 15 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 30 0 5 15 0 10 15 60 0 15 30 0 15 30 0 0 0 0 0 0 20 30 0 10 30 60 0 30 60 0 0 0 20 30 60 p K 2 2 54                                                      0 15 15 0 0 15 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0 15 0 0 0 30 15 0 30 0 15 30 0 0 30 0 15 15 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0 15 30 0 0 30 0 15 30 0 15 15 0 0 15 0 15 0 0 0 30 15 0 30 0 15 15 0 15 30 K 3 symmetrisch                                                                    8 0 6 8 0 6 2 0 6 2 0 6 8 6 0 2 6 0 8 6 0 2 6 84 6 6 84 6 6 84 6 6 84 8 0 6 2 0 6 2 0 6 8 6 0 2 6 0 8 6 84 6 6 84 6 6 84 8 0 6 8 0 6 8 6 0 2 6 84 6 6 84 8 0 6 8 6 84 K 4 symmetrisch 55                                                                                                                                                                   l k j i xy xy xy xy xy xy xy xy 1 y 1 1 y y y 1 1 1 x 1 1 x 1 1 1 x x 1 xy xy xy xy xy xy xy xy y y 1 y 1 1 y 1 1 1 1 1 x 1 1 x 1 x x 1 xy xy xy xy xy xy xy xy 1 1 1 1 y 1 1 y y y x x 1 x 1 1 x 1 1 1 xy xy xy xy xy xy xy xy 1 1 1 y y 1 y 1 1 y x x 1 1 1 x 1 1 x 1 l k j i x x x x aD 4 bD 4 D 2 aD 4 0 D 2 0 bD 4 D 2 0 0 D 2 bD 8 aD 8 D p 6 pD 6 0 aD 4 pD 6 bD 4 0 D p 6 0 0 0 bD 8 aD 8 pD 6 D p 6 0 aD 4 pD 6 bD 4 0 D p 6 0 0 0 aD 4 0 D 2 aD 4 bD 4 D 2 0 0 D 2 0 bD 4 D 2 0 aD 4 pD 6 bD 8 aD 8 D p 6 pD 6 0 0 0 bD 4 0 D p 6 0 aD 4 pD 6 bD 8 aD 8 pD 6 D p 6 0 0 0 bD 4 0 D p 6 0 bD 4 D 2 0 0 D 2 aD 4 bD 4 D 2 aD 4 0 D 2 bD 4 0 D p 6 0 0 0 bD 8 aD 8 D p 6 pD 6 0 aD 4 pD 6 bD 4 0 D p 6 0 0 0 bD 8 aD 8 pD 6 D p 6 0 aD 4 pD 6 0 0 D 2 0 bD 4 D 2 aD 4 0 D 2 aD 4 bD 4 D 2 0 0 0 bD 4 0 D p 6 0 aD 4 pD 6 bD 8 aD 8 D p 6 pD 6 0 0 0 bD 4 0 D p 6 0 aD 4 pD 6 bD 8 aD 8 pD 6 D p 6 0 ab 4 1 M M M M Steifigkeitsmatrix eines “einfachen” Plattenelementes 56 4 Rotationssymmetrie Je nach Geometrie und Lastfall können FE Berechnungen durch Einsatz rotationssymmetrischer Elemente vereinfacht werden. Diese können ein- oder zweidimensional sein, d.h. als Linie oder Dreieck bzw. Viereck auf dem Bildschirm erscheinen. Es ist möglich, sowohl rotationssymmetrische (z.B. Innendruck) als auch nicht-rotationssymmetrische Lastfälle (z.B. seitliche Belastung quer zur z-Achse) mit einem FE-Modell aus solchen Elementen zu berechnen. j i m r (u) z(v) z u r w v   57 Verschiebungsvektor für den Knoten i und jener für das ganze Element bzw. für i, j und m zusammen:        i i i v u x            m j i e x x x x Analog zum dreieckigen Scheibenelement erhält man die inneren Verschiebungen an Hand von Ansatzfunktionen:   , x IN , IN , IN v u u e m j i         (I: Einheitsmatrix)   . usw 2 / i c i b i a i N     Rotationssymmetrischer Spannungszustand 4.1 Ein rotationssymmetrischer Zustand charakterisiert sich dadurch, dass es keine Verschiebung in der Umfangsrichtung (bezogen auf ein zylindrisches Koordinatensystem) geben kann, alle Verzerrungs- und Spannungskompenenten ausser jene gemäss Figur null sind, und die vorhandenen Komponenten unabhängig von der Umfangsposition “rundum“ gleich bleiben. Verzerrungen   r ( r )  z ( z )   (  )  rz ( rz ) Rotationsachse 58 Lu r v z u r u r u z v γ ε ε ε ε rz θ r z                                                   e m j i e x B , B , B Bx ε   usw. b c 0 r z c b r a 0 b c 0 2∆ 1 r N z N 0 N r 1 0 r N z N 0 B i i i i i i i i i i i i i                                                 Isotropes Material     D                                                         1 2 2 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 2 - 1 1 - 1 E D Spannungen mittels Elastizitätsmatrix D: e DBx   Schliesslich erhält man die Elemente der Steifigkeitsmatrix durch ein Volumenintegral (siehe Abschnitt 3.1), welches nun unter Berücksichtigung von dV=2 . r . dr . dz wie folgt ausgeführt werden kann:    dz dr r DB B 2 K j T i e ij 59 Symmetrische und antisymmetrische Belastungen 4.2 Beispiel für eine antisymmetrische Belastung: Torsion symmetrisch antisymmetrisch 60 Verzerrungen unter nicht-rotationssymmetrischer 4.3 Belastung Der Verzerrungsvektor bzw. die kinematischen Beziehungen für rotationssymmetrische Körper müssen im Falle einer nicht-rotationssymmetrischen Belastung wie folgt ergänzt werden:                                                                              z w θ v r 1 r w r w θ u r 1 r v z u θ w r 1 r u z v r u γ γ γ ε ε ε ε zθ rθ rz θ z r Sollten rotationssymmetrische Elemente zur Simulation nichtrotationssymmetrischer Lastfälle eingesetzt werden, müssten also deren Steifigkeitsmatrizen den Einfluss der entsprechenden zusätzlichen Verzerrungen berücksichtigen. Rotationsschalen 4.4 4.4.1 Rotationsschale mit rotationssymmetrischer Belastung Typische Verschiebungen eines solchen Tragwerks treten in normaler und meridionaler Richtung auf. Die Membrankräfte und Biegemomente können als “verallgemeinerte Spannungen“ aufgefasst werden. Es ist zweckmässig, für die Steifigkeitsbeziehung die normale und die meridionale Verschiebungskomponente (u bzw. w) sowie den Gradienten dw/ ds der letzteren zu verwenden. r u w s z N s M s M  N   61 Vektor der “verallgemeinerten” Verzerrungen:                                               ds dw r sin ds w d r usin wcos ds du χ χ ε ε ε 2 2 θ s θ s Vektor der “verallgemeinerten” Spannungen:                  D M M N N σ θ s θ s Elastizitätsmatrix:                        12 t 12 t 0 0 12 t 12 t 0 0 0 0 1 0 0 1 ) (1 Et D 2 2 2 2 2 Verschiebungsansatz mittels Interpolationsfunktionen: e Nx w u u        r i r L s j i w u  i  i u i w 62 Transformation von globalen zu lokalen Knotenverschiebungen am Beispiel des Knotens i: i i i i i i i x w u 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos ds dw w u                                                       Vektor der globalen Knotenverschiebungen:                                                    j j j i i i e ds dw w u ds dw w u x Verzerrungen: e Bx   Steifigkeitsmatrix des einfachen, eindimensionalen rotationssymmetrischen Schalenelementes:    1 0 T ' ds rL 2 ' DB ' B K mit D für Elastizitätsmatrix und L s ' s  als dimensionslose lokale Koordinate zwecks einfacher Integration (für s und L siehe Bild auf vorangehender Seite). 63 4.4.2 Rotationsschalen mit nicht-rotationssymmetrischer Belastung Die zugehörigen Vektoren für verallgemeinerte Verzerrungen und Spannungen können wie folgt geschrieben werden.                                                                                                                    v r cos sin s v r cos w r sin s w r 1 2 s w r sin r cos θ v w r 1 s w r 1 sin v s v θ u r 1 r 1 sin uc cos w θ v r 1 s u χ χ χ γ ε ε ε 2 2 2 2 2 2 2 2 sθ θ s sθ θ s                             s s s s M M M N N N Weitere Schritte erfolgen in analoger Weise wie beim rotationssymmetrischen und rotationssymmetrisch belasteten Element.  N s N s N  N s M s M s M  M s w v u r  64 5 Modellierung des Materialverhaltens Die Simulation des Materialverhaltens für ein FE-Modell hat prinzipiell zwei Aspekte: Einerseits geht es um das sogenannte “Stoffgesetz“ d.h. um die Beschreibung des Zusammenhangs zwischen Spannungen und Dehnungen, was linear oder nicht-linear sein kann, wie auch zeit- oder temperaturabhängig. Andererseits sind Überlegungen und zugehörige Eingabeparameter darüber erforderlich, nach welchem Kriterium ein Materialversagen auftritt. Im folgenden werden zuerst einige typische Beispiele fürs Materialverhalten und anschliessend eine Auswahl von gängigen Festigkeitshypothesen (Versagenskriterien) summarisch aufgeführt. Für eine detailliertere Beschreibung derselben wird auf die einschlägige Fachliteratur verwiesen. Einige Beispiele für Materialgesetze 5.1 5.1.1 Elasto-plastisches Materialverhalten Bei allen zähen Werkstoffen (z.B. Aluminium) beobachtet man  bis zu einer Proportionalitätsgrenze  eine lineare Abhängigkeit zwischen Spannungen und Dehnungen, welche durch den Elastizitätsmodul charakterisiert wird. Dieses Verhalten ist unter dem Namen Hookesches Gesetz bekannt. Wird diese Grenze überschritten, treten plastische Dehnungen auf. Eine allfällige Entlastung ab einem Punkt jenseits der Proportionalitätsgrenze erfolgt längs einer Geraden, die sich als parallel zur Hookeschen Geraden erweist.   65 5.1.2 Hyperelastisches Materialverhalten Bei einigen Kunststoffen, wie z.B. bei Gummi, gibt es keine ausgeprägte Proportionalität zwischen Spannungen und Dehnungen. Die Belastung und die Entlastung erfolgen längs unterschiedlicher Kurven (d.h. es tritt Hysterese auf), obwohl keine Dehnung zurückbleibt. Für die numerische Simulation stehen z.B. die Materialmodelle von Ogden, Mooney-Rivlin und Neohooke zur Verfügung. Auf deren Einzelheiten wird hier nicht weiter eingegangen. 5.1.3 Unterschiedliches Verhalten im Zug- und Druckbereich Gewisse Materialien, Beton z.B., verhalten sich unter Zug und Druck ausgeprägt unterschiedlich. Sollte die Erfassung dieser Unterschiede für eine Analyse von Bedeutung sein, so ist bei der Wahl der FE-Software auf die Verfügbarkeit entsprechender Optionen zu achten.     66 5.1.4 Elastisch-viskoplastisches Materialverhalten Bei Metallen und keramischen Stoffen unter höherer Temperatur und bei einigen Kunststoffen sogar in der Nähe der Raumtemperatur kann beobachtet werden, dass die Spannungen im höheren Beanspruchungsbereich je nach Dehngeschwindigkeit auf einem anderen Niveau verlaufen. Zur Berücksichtigung dieser Abhängigkeit muss ein geeignetes Materialmodell gewählt und mittels experimentell ermittelter Kennwerte geeicht werden. 5.1.5 Kriechen Die Zunahme der Dehnung mit der Zeit bei konstant gehaltener Spannung  c t    67 nennt man Kriechen. Zum Beispiel ein Balken aus Stahlbeton unter Eigengewicht weist nach einigen Tagen eine etwas grössere Durchbiegung auf als bei der Erstbelastung. Oder, streckt man einen Metallstab bei hoher Temperatur und hält die Axialkraft fest, so beobachtet man eine leicht zunehmende Dehnung, die sich aber mit der Zeit stabilisiert. Das Kriechverhalten kann bei Bedarf durch Experimente an Materialproben quantifiziert und in die Materialmodellierung mit einbezogen werden. Eine Kriechkurve (siehe Bild unten), als Aufzeichnung der Dehnung in Abhängigkeit von der Zeit bei konstant gehaltenem Spannungsniveau, zeichnet sich durch drei typische Bereiche aus. Es ist selbstverständlich, dass im Gebrauchszustand des Materials ein Anwachsen der Dehnungen bis in den tertiären Kriechbereich bzw. ein Kriechbruch vermieden werden sollte. 5.1.6 Relaxation Die Abnahme der Spannung bei zeitlich konstant gehaltener Dehnung nennen wir Relaxation. Eine axial gestreckte Stahlfeder weist bei konstant gehaltener Verlängerung nach einigen Monaten eine etwas kleinere Federkraft auf als bei der Erstbelastung. Dieses Phänomen kann man auch z.B. bei einem einfachen Stab mit zeitabhängigem Materialverhalten - sogar in einer kürzeren Zeitspanne - beobachten. Trotz konstantem Dehnungsniveau kann also die Spannung mit der Zeit abnehmen. Sei das zeitabhängige Materialverhalten durch Kriechen oder Relaxation charakterisiert, stehen zugehörige Materialmodelle zur Verfügung. Da jedoch diese in der Regel mehrere Parameter enthalten, welche im Voraus experimentell bestimmt werden müssen, ist bei deren Einsatz Vorsicht geboten. Insbesondere bei dreidimensionalen Problemstellungen erfordert diese Vorarbeit - wenn überhaupt durchführbar - einen beträchtlichen Aufwand. Dehnung t Primäres Kriechen Sekundäres Kriechen Tertiäres Kriechen 68 Rechenmodelle für Kriechen und Relaxation Kelvin-Modell ε η Eε σ          η G Maxwell-Modell        ε      1 E 1 E       t 0 69 Versagenskriterien 5.2 5.2.1 Von Misessches Fliesskriterium Das Fliesskriterium nach von Mises, das auf der Festigkeitshypothese nach der maximalen Gestaltänderungsenergie basiert, eignet sich insbesondere für zähe, isotrope Werkstoffe wie Aluminium oder Stahl. Die zugehörige Vergleichsspannung wird anhand von Hauptspannungen oder Spannungskomponenten im kartesischen Koordinatensystem gemäss den folgenden Formeln ermittelt:         2 σ σ σ σ σ σ σ 2 1 2 1 3 2 3 2 2 2 1                 2 6 σ σ σ σ σ σ σ 2 1 2 zx 2 yz 2 xy 2 x z 2 z y 2 y x             Ist die von Misessche Vergleichsspannung kleiner als  o (Fliesspannung bzw. Streckgrenze des Werkstoffs) bzw. befindet sich der Bildpunkt des Spannungszustandes im betrachteten Körperpunkt innerhalb eines Zylinders mit Radius  o , dessen Achse mit der Raumdiagonale des Koordinatensystems ( 1 ,  2 ,  3 ) übereinstimmt, so liegt eine Beanspruchung im elastischen Bereich vor. Im Falle eines ebenen (zweidimensionalen) Spannungszustandes tritt eine elliptische Fliesskurve, welche die Spur des angesprochenen Zylinders auf der ( 1 ,  2 )-Ebene darstellt, anstelle der Fliessfläche (siehe Bilder oben). Würde man als Versagenskriterium die Festigkeitshypothese der grössten Schubspannung nach Tresca wählen, so wäre die zylindrische Fliessfläche gemäss von Mises durch die Mantelfläche eines sechseckigen Prismas und die elliptische Fliesskurve durch ein sechseckiges Polygon zu ersetzen.  3  1  2 elastischer Bereich Fliessfläche  3  2  1 elastischer Bereich Fliesskurve  o 70 5.2.2 Hillsches Fliesskriterium Das ist die für anisotrope Werkstoffe adaptierte Version des Fliesskriteriums gemäss von Mises. Die zugehörigen Ausdrücke für die Vergleichsspannung         2 σ σ c σ σ c σ σ c σ 2 1 2 1 3 3 2 3 2 2 2 2 1 1               2 τ 3a τ 3a τ 3a σ σ a σ σ a σ σ a σ 2 1 2 xy 6 2 zx 5 2 yz 4 2 y x 3 2 x z 2 2 z y 1          enthalten die Koeffizienten c 1 ... c 3 , bzw. a 1 ... a 6 , welche gegebenenfalls experimentell zu bestimmen sind. 5.2.3 Mohr-Coulombsche Festigkeitshypothese Es gibt Materialien, welche im Druckbereich wesentlich grössere Spannungen ohne Schädigung überstehen können, als im Zugbereich (Beton, Lehm/ Erde, etc.). Ihre Aufnahmekapazität steigt sogar mit zunehmendem Beanspruchungsniveau (vorausgesetzt natürlich immer noch im negativen bzw. im Druckbereich! ). Mit zunehmendem Betrag der mittleren Hauptspannung dürfen also Mohrsche Spannungskreise grösser werden, ohne dass Plastifizierung auftritt. Im ebenen Fall gibt es eine parabelförmige Grenzkurve (siehe Bild unten), für dreidimensionale Spannungszustände ein entsprechendes Paraboloid. Diese Grenzen werden mittels spezifischer Materialkennwerte beschrieben. Solange die Mohrschen Spannungskreise innerhalb der besagten Begrenzung bleiben, kann ein Versagen ausgeschlossen werden. Die jeweilige Vergleichsspannung (massgebend für “R” gemäss obigem Bild) wird durch die Funktion 0 ) J 3 J 3 ( f 2 1 1 2        ermittelt. Darin bedeuten R c   71 11 1 J   ij ij 2 ' ' 2 1 J     wobei kk ij ij ij 3 1 '       Die soeben besprochene Begrenzungsfläche und -linie (Paraboloid bzw. Parabel) entspricht der Originalversion der Theorie. Für praktische Zwecke werden jedoch die vereinfachten Varianten von Drucker-Prager oder Mohr- Coulomb verwendet. Im Falle dreidimensionaler Beanspruchung ist die Grenzfläche nach Drucker-Prager ein Kegelmantel, gemäss Mohr-Coulomb hingegen eine Pyramide, welche in diesen Kegel passt. Beide Theorien führen für den ebenen Spannungzustand zu denselben Begrenzungslinien (siehe Bild unten). 0 3 σ J J f 2 1 2 1      Die in diesem Abschnitt kurz besprochenen Versagenskriterien können zur Ermittlung aussagekräftiger Vergleichsspannungen für Materialien verwendet werden, welche sich durch ausgeprägte Verfestigung im Druckbereich charakterisieren. Suchte man eine Analogie zu den Versagenskriterien für metallische Werkstoffe, so wäre die Modellvorstellung von Drucker-Prager mit jener gemäss von Mises, und die Variante von Mohr-Coulomb mit derjenigen nach Tresca vergleichbar. Die im Rahmen dieses Buches angebotene Übersicht erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Selbstverständlich gibt es noch eine Reihe von Theorien (z.B. jene für Composites, für Beton im Zugbereich, etc.), die für den praktischen Einsatz in spezifische FE-Software integriert sind.  R c   Fliessgrenze 72 6 Stabilitätsuntersuchungen / Nichtlinearitäten Gelegentlich geht es bei einer Finite Elemente Berechnung nicht um eine Festigkeitsanalyse oder um die Ermittlung einer extremen Beanspruchung, die zum Versagen des Materials führen kann, sondern einfach um die Bestimmung eines Grenzwertes der Belastung, bei welchem die Gleichgewichtslage nicht mehr eindeutig bzw. “stabil“ bleibt und dadurch generell die Funktionstüchtigkeit des Bauteils oder der Struktur gefährdet. Knickung eines Stabs in einem Fachwerk, Beulen einer Blechdose, Flattern einer Membrane gehören zu dieser Kategorie. Andererseits kann es bei grösseren Formänderungen wichtig sein, deren Einfluss auf die Spannungen und Verzerrungen zu erfassen. Beiderlei Fälle bedingen, dass bei der Formulierung und Lösung des FE-Problems entsprechende Zusatzterme mitberücksichtigt werden ( Theorie 2. Ordnung). Um die Unterschiede hervorzuheben, werden in der Tabelle auf folgender Seite die grundsätzlichen Voraussetzungen für eine Rechnung nach Theorie 1. Ordnung, nach Theorie 2. Ordnung und nach geometrisch nichtlinearer Theorie gegenübergestellt. Stabilitätsuntersuchungen 6.1 Nähert sich die Drucklast eines Stabs einem Grenzwert, der sogenannten Knicklast, so besteht die Gefahr, dass der Stab sich sichtbar durchzubiegen beginnt. Praktisch ohne weitere Zunahme der Belastung übersteigt die Durchbiegung zulässige Grenzwerte, und die Struktur versagt. Ein ähnliches Verhalten kann auch bei Flächentragwerken wie Platten und Schalen beobachtet werden und wird dort als Beulen bezeichnet. Diese Phänomene sind Beispiele von Stabilitätsproblemen, welche insbesondere bei schlanken Strukturen untersucht werden müssen, um Funktionsstörungen oder Schadenfälle im Gebrauchszustand auszuschliessen. Man kann zeigen, dass die Ermittlung von Knick- oder Beullast für ein Stabbzw. Flächentragwerk als die Lösung eines Eigenwertproblems - also analog zur Analyse der Eigenschwingungen - ausgeführt werden kann. Selbstverständlich eignet sich dazu der Einsatz der FE-Methode sehr gut. Bei der Modellierung ist jedoch folgenden Punkten besondere Aufmerksamkeit zu schenken:  Die Verformungen und Spannungen, welche mit dem Erreichen der Stabilitätsgrenze zusammenhängen, können  je nach Schlankheit der Struktur  auch im plastischen Bereich liegen. 73  Mit rotationssymmetrischen Modellen kann man in der Regel nur Beullasten bestimmen, welche zur rotationssymmetrischen Beulung führen.  Wenn ein lokales Beulen zu befürchten ist, ist der fragliche Bereich entsprechend zu verfeinern. Vergleichende Übersicht über die grundlegenden Unterschiede zwischen der Behandlung nach der Theorie 1. Ordnung, nach der Theorie 2. Ordnung und nach der nichtlinearen Theorie Theorie 1. Ordnung Theorie 2. Ordnung nichtlineare Theorie Wirkliche Verzerrung kinematische Beziehungen linear kinematische Beziehungen nichtlinear Virtuelle Verzerrung kinematische Beziehungen linear kinematische Beziehungen “linearisiert“ nichtlinear Gleichgewicht am unverformten System am schwach verformten System am stark verformten System Balken unter Druckbelastung Knicken Verhalten nach Ausknicken Balken unter Druck- und Querbelastung Seil (biegeschlaff) t 74 Materialnichtlinearitäten 6.2 Eine Materialnichtlinearität wird dadurch gekennzeichnet, dass die Matrizenbeziehung (als Überbegriff für die Elastizitätsmatrix D) zwischen den Spannungen und Verzerrungen von deren augenblicklichem Zustand, von der Belastungsgeschichte und / oder von anderen Zustandsparametern (z.B. Temperatur) abhängig ist. Eine Auswahl zeitabhängiger und zeitunabhängiger nichtlinearer Materialgesetze wurde im Kapitel 4 besprochen. Materialnichtlinearitäten werden nicht selten von geometrischen Nichtlinearitäten begleitet. Geometrische Nichtlinearitäten 6.3 Geometrische Nichtlinearitäten resultieren aus der nichtlinearen kinematischen Beziehung zwischen den Verschiebungen und Verzerrungen. Sie bedingen immer eine Änderung des Strukturverhaltens und beinflussen dadurch die Stabilität. Ist die Struktur  wie bei einem Umformprozess  grossen Verformungen, oder  wie bei einem Mechanismus  grossen Starrkörperbewegungen ausgesetzt, müssen die Steifigkeitsmatrizen der einzelnen Elemente wie auch jene des ganzen Modells auf die augenblickliche Konfiguration abgestimmt sein. Das bedeutet, dass sich die lokalen Koordinatensysteme einzelner Elemente mit den Elementen bewegen müssen, und die Spannungen und Dehnungen nicht auf die Anfangs-, sondern auf die momentane Konfiguration bezogen werden. Die zugehörige Prozedur wird als Updated Langrangesche Formulierung bezeichnet. Die angesprochenen realistischen Spannungen, welche somit die nominalen ersetzen, werden nach Cauchy benannt. 6.3.1 Grosse Verschiebungen und Verzerrungen bei Stäben Das folgende Beispiel (Durchschlagsproblem) illustriert einen möglichen nichtlinearen Charakter der Beziehung zwischen Kraft und Verschiebung. Der zugehörige Kraft-Weg-Verlauf ist anschliessend in dimensionsloser Form skizziert. Eine für nichtlineare Berechnungen geeignete FE-Software sollte ein vergleichbares Ergebnis liefern. L L h F 1 F 1 F r   0 75 Ausgehend aus der Anfangskonfiguration  o sei die momentane Lage durch den Winkel  gekennzeichnet. Aus Gleichgewichtsgründen gilt   sin F 2 F 1 Die Dehnung entspricht definitionsgemäss                   cos cos 1 cos L cos L cos L 0 0 0   L r h tan        2 tan 1 1 cos      2 tan 1 tan sin Sind die Dehnungen klein (z.B. < 5%) und die Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes voraussetzbar, kann man aus     sin AE 2 F AE F 1 eine Beziehung F(r) aufstellen. Die nachstehende Graphik zeigt diesen Zusammenhang für  o = 30 o in dimensionsloser Form. Wie daraus ersichtlich, gerät die Kraft beim “Durchschlagen” merkwürdigerweise in den negativen Bereich. D.h.: Überschreitet die Verschiebung r die Grenze h, kann sogar eine umgekehrt wirkende bzw. bremsende Kraft eine weitere Zunahme der Deformation nicht mehr aufhalten. Man achte ferner darauf, dass von dieser Kraft-Weg-Kurve nur die schraffierten Bereiche in der Umgebung von r/ h=0 und r/ h=2 gültig sind, da sonst die Annahme kleiner Dehnungen verletzt wird. 1 2 0 2 4 r/ h  0 =30° 76 Als Variante betrachten wir nun den Fall von kleineren Winkeln . Dadurch gilt      tan sin und es lässt sich für   L r h F 2 F 1   sowie für die Dehnung  eine Reihenentwicklung wie folgt setzen: ... L r 2 1 L r L h 1 2 2                  Unter Berücksichtigung von ) r h ( AE 2 FL AE F 1     und nach einfachem Umformen erhält man daraus schliesslich                      h r 2 h r 1 h r AEh FL 3 3 Diese Beziehung, graphisch dargestellt (siehe unten), sieht praktisch gleich aus, wie die zuvor besprochene exakte Lösung. Der wesentliche Unterschied liegt darin, dass hier die Dehnungen über den ganzen Vorgang klein bleiben und somit der schraffierte Gültigkeitsbereich der Kurve nicht unterbrochen wird. 4 1 2 0 2 r/ h  0 =10° 77 6.3.2 Grosse Verschiebungen und Verzerrungen bei Platten und Schalen Treten z.B. bei einer Platte oder Schale Durchbiegungen auf, welche grösser sind als die Dicke, liegt eindeutig eine geometrische Nichtlinearität vor. Um deren Einfluss zu berücksichtigen, werden die kinematischen Beziehungen durch Terme 2. Ordnung ergänzt. 1. Ordnung 2. Ordnung                                       y x w 2 y w x w ε ε ε ε 2 2 2 2 2 xy y x                                                                                                                          0 0 0 y u x u y u 2 1 x u 2 1 y x w 2 y w x w x v y u y v x u ε 2 2 2 2 2 2 2 für übliche Platten oder Schalen für Platten oder Schalen bei geometrisch nichtlinearen Berechnungen Das nachstehende Beispiel veranschaulicht, wie wichtig es für aussagekräftige Ergebnisse sein kann, bei grösseren Verschiebungen eine nichtlineare Berechnung durchzuführen. Vergleich der Ergebnisse aus linearer und nichtlinearer Berechnung 2a 0 100 200 300 2 1 Allseitig eingespannte quadratische Platte w c : Durchbiegung in Plattenmitte p: gleichmässige Druckbelastung 78 6.3.3 Allgemeiner Greenscher Ansatz für nichtlineare Kontinua Selbstverständlich kann die Berücksichtigung geometrischer Nichtlinearitäten auch bei einem beliebigen Körper, der als dreidimensionales Kontinuum zu betrachten und mit Solid-Elementen zu simulieren ist, von Bedeutung sein. Als Beispiele dafür bieten sich eine Taste oder ein Bremsklotz aus stark deformierbarem Gummi, wobei je nach Beanspruchungsgrad die Nichtlinearität des Materialverhaltens hinzu käme. Die folgenden zwei Ausdrücke vermitteln die Zusammensetzung der Dehnung  x und der Schiebung  xy bei einer für die Erfassung geometrischer Nichtlinearitäten geeigneten FE-Berechnung.                                        2 2 2 x x w x v x u 2 1 x u                             y w x w y v x v y u x u x v x u xy Die übrigen Komponenten ergeben sich durch zyklische Vertauschung. Nichtlineare Randbedingungen 6.4 Die Randbedingungen beschreiben die Lagerung bzw. die Anbindung der Struktur an die Umgebung. Dazu gehören Unterdrückung oder Vorgabe von Bewegungsfreiheitsgraden oder Belastungen. Der Begriff umfasst auch die Verbindung der einzelnen Elemente untereinander und somit z.B. Zwangsbedingungen zwischen zwei oder mehr Knoten bzw. Kopplung einzelner Freiheitsgrade. Bleiben die Randbedingungen während der ganzen Berechnung nicht konstant, so erfordern sie eine nichtlineare Berechnung mit mehreren Inkrementen, damit die Belastungsgeschichte nachvollzogen werden kann. Nichtlineare Federn, Kontakt zwischen gewissen Elementen oder Elementgruppen, begleitet von Haft- und / oder Gleitreibung (“stick”- “slip”-Verhalten) sind typische Fälle von nichtlinearen Randbedingungen. FE-Simulation von Kontakt 6.5 Ein mechanisches Kontaktproblem zeichnet sich dadurch aus, dass zwei sich berührende Körper gegenseitig Einfluss auf den Bewegungs- oder Beanspruchungszustand des anderen ausüben. Dadurch, dass die effektive Grösse der Kontaktflächen und somit die momentane “Lagerung“ des Modells von der Höhe der Belastung und / oder von der Zeit abhängig sind, ist jedes Kontaktproblem gezwungenermassen nichtlinear und kann nur durch ein inkrementelles bzw. schrittweises Vorgehen gelöst werden. 79 In den meisten Fällen handelt es sich um die Berührung zwischen einem relativ starren und einem deformierbaren Körper (Kontaktpaare bzw. “CONTACT PAIRS“ mit den zugehörigen Bezeichnungen je nach Programm “RIGID BODY - DEFORMABLE BODY“, “MASTER SURFACE - SLAVE SURFACE“, etc.), was die Analyse vereinfachen kann. Die Präzisierung bzw. genauere Festlegung des potentiellen Kontaktbereichs pro Körper hilft in der Regel, den Rechenaufwand weiter zu optimieren. Bei der iterativen Berechnung in mehreren Inkrementen wird jeweils das Schliessen oder Öffnen von potentiellen Kontaktflächen anhand von in das Programm eingebauten Algorithmen und vorgegebenen Toleranzen / Parametern kontrolliert, die Steifigkeitsmatrizen entsprechend aktualisiert, und die Gleichungssysteme erneut gelöst. Als typische Anwendungen von Kontaktberechnungen können Untersuchungen von Umformvorgängen, Reifen, Walzen, Bremsbelägen, etc. aufgeführt werden. Immer mehr Softwareprodukte verfügen heute über leistungsfähige explizite Algorithmen, so dass auch sehr schnell ablaufende Kontaktphänomene simuliert werden können. Ferner gibt es FE-Programme, welche die Simulation von Self Contact erlauben. Bei einer Kontaktuntersuchung mittels FE-Berechnung ist darauf zu achten, dass das FE-Modell im potentiellen Kontaktbereich  insbesondere auf der weicheren Seite  genügend verfeinert ist, um signifikante bzw. brauchbare Ergebnisse zu erhalten. Sind bei einer Kontaktsimulation Platten- oder Schalenelemente beteiligt, so ist zu überprüfen, ob die Plattenbzw. Schalendicke mitberücksichtigt wird. Ausserdem kommt der Orientierung solcher Elemente eine besondere Bedeutung zu: Ein Platten- oder Schalenelement kann nur in der Richtung mit anderen Elementen in Berührung kommen, in welcher dessen Normale liegt. Vor jeder FE-Berechnung mit Kontakt empfiehlt sich ein Benchmark-Test. 80 7 Dynamische FE-Berechnungen Zur rechnerischen Untersuchung vielfältiger dynamischer Einwirkungen kann die Methode der finiten Elemente effizient eingesetzt werden. Solche Einwirkungen (siehe Bild oben) können in Form von  zyklischen oder stossartigen Betriebslasten  Unwucht (massenkrafterregte Schwingungen)  Erschütterungen oder Erdbeben (wegerregte Schwingungen)  stochastisch erregten Schwingungen (z.B. durch Wind und Wellen)  akustischer Anregung  Anregung durch die Fluid-Struktur-Interaktion auftreten. Zu strukturellen Eigenschaften gehören  Eigenfrequenzen  Eigenschwingungsformen (“modes”)  Übertragungscharakteristik (“frequency response funktions”)  Dämpfung (kann nicht berechnet aber falls bekannt  in die Analyse mit einbezogen werden)  Dynamische Steifigkeit und Masse Die Erfassung der Respons der Struktur kann in verschiedener Hinsicht ausschlaggebend sein, z.B.  Gefährdung der Betriebsfestigkeit durch erhöhte Beanspruchung  Funktionsstörungen  Tilgung der Vibrationen  Belästigungen durch Lärm, Geräusch, Erschütterung, etc.  Lebensdauer, Ermüdung. Eine dynamische Untersuchung kann für die Ermittlung der Struktureigenschaften oder für die Quantifizierung von Zielgrössen, welche für die Beur- ÄUSSERE EINWIRKUNG STRUKTURELLE EIGENSCHAFTEN “RESPONS” DER STRUKTUR” 81 teilung der dynamischen Reaktion der Struktur massgebend sind, separat, aber auch gleichermassen zu beiden Zwecken  in sukzessiven Schritten  durchgeführt werden. Grundlagen 7.1 Dynamische FE-Berechnungen unterscheiden sich dadurch von den statischen, dass sie die Trägheitskräfte berücksichtigen. Bekanntlich kann man gemäss dem Prinzip von d’Alembert die auf ein Einheitsvolumen bezogene Trägheitskraft als u     ausdrücken, wobei  Dichte und ü Beschleunigung (u: Verschiebung irgendwo im Inneren des Elementes) bedeuten. Wirken noch andere zeitabhängige Kräfte, wie z.B. eine viskose Dämpfungskraft (Viskositätskonstante: ) u    so beträgt die resultierende Volumenkraft u u b         Dadurch, dass u eigentlich ein Vektor ist und in Abhängigkeit von der Interpolationsmatrix N und dem Vektor x e der Knotenverschiebungen als u = Nx e geschrieben werden kann, ist auch b ein Vektor. Weitere Kräfte könnten als Knotenkräfte q e des betreffenden Elementes auftreten (ebenfalls ein Vektor! ). Gemäss dem Prinzip der virtuellen Verrückungen entspricht die spezifische Formänderungsarbeit zufolge Spannungen und Volumenkräfte, nämlich b u T T     der von den Knotenkräften verrichteten Arbeit e e q x T  Unter Berücksichtigung von =B . x e =D .  82 erhält man daraus:          e e T T V T V T e e e bdV N dV B x q x         e e V T V T e e e dV u N dV u N a K q    e V T x NdV N e      e V T x NdV N e     Elementsteifigkeitsmatrix K ij e   e V T DBdV B :  K e Massenmatrix    e V T e ij NdV N M  M e Dämpfungsmatrix    e V T e ij NdV N C  C e e e e e e e e q x K x C x M       Durch Überlagerung analoger Gleichungen für alle Elemente des Modells lässt sich die verallgemeinerte Form dieser Gleichung aufstellen: Darin bedeuten M: Massenmatrix, C: Dämpfungsmatrix, K: Steifigkeitsmatrix des Gesamtmodells und f: verallgemeinerter Kraftvektor, welcher alle Belastungen und Lagerreaktionen bzw. sämtliche Knotenkräfte (und momente) enthält. Das Aufstellen der Dämpfungsmatrix C ist für einen praktischen Fall kompliziert, da man nicht über die Viskositätsmatrix  verfügt. Es wird deshalb oft für die Dämpfungsmatrix eine lineare Kombination von Steifigkeitsmatrix und Massenmatrix angenommen, d. h. C = M+K Dabei sind  und  experimentell zu bestimmende Grössen. Dämpfungen dieser Art werden auch als Rayleigh-Dämpfung bezeichnet. Sie bieten besondere mathematische Vorteile. Man kann zeigen, dass dieser Ansatz zu   2 i i i 2 1       führt. Darin sind i  : Dämpfungsmass der iten Eigenschwingung i  : Eigenkreisfrequenz der iten Eigenschwingung f Kx x C x M       83 Sind zwei Paare von i  und i  (d.h. a  , a  und b  , b  ) bekannt bzw. geschätzt (siehe Tabelle weiter unten), so kann man  und  relativ einfach ermitteln. Man achte darauf, dass die Dämpfungskoeffizienten üblicherweise für alle Frequenzen im interessierenden Bereich  gestützt auf die aufgeführten Erfahrungswerte  einheitlich gewählt werden. Dies hat zur Folge, dass die Dämpfungswerte im betrachteten Frequenzband f a < f < f b überschätzt und ausserhalb davon unterschätzt werden. Dieser Effekt ist aus der nachstehenden Kurve klar ersichtlich. Tabelle: Anhaltswerte für Dämpfungskoeffizienten je nach Art der Struktur Struktur Dämpfungskoeffizient () in % geschweisste Metallkonstruktionen 2  4 verschraubte Metallkonstruktionen 4  7 vorgespannte Betonkonstruktionen 2  5 Konstruktionen aus Stahlbeton 4  7 Rohrleitungen mit kleineren Durchmessern 1  2 Aggregate / Rohrleitungen mit grösseren Durchmessern 2  3   Effektiver Verlauf des Dämfungskoeffizienten  a  b   Wahl eines einheitlichen Dämpfungskoeffizienten   84 Modale Analyse 7.2 Wie jedes mechanische Federn-Massen-System weist auch ein FE-Modell Eigenfrequenzen mit zugehörigen Eigenschwingungsformen (und Dämpfungskoeffizienten) auf. Diese Modalparameter beschreiben das Schwingungsverhalten und sind hinsichtlich Abschätzung möglicher Resonanzanfälligkeit sowie für die Evaluation potentieller “Beruhigungsmassnahmen“ (wie Einbau von Schwingungtilger, Steifigkeit- und Massenmodifikationen an der Struktur, etc.) von grosser Bedeutung. Zur rechnerischen Modalanalyse bzw. zur Ermittlung von Eigenfrequenzen und Eigenschwingungsformen (“Modes“) braucht man die oben hergeleitete dynamische Differentialgleichung mit f=0, d.h. ohne Rücksicht auf allfällige äussere Kräfte zu lösen. Dabei ist die Analogie zur entsprechenden Gleichung für einen Einmassenschwinger unübersehbar. 0 Kx x C x M       Die Dämpfungsmatrix C wird fürs weitere Vorgehen gleich null gesetzt. Der Separationsansatz       n 1 i t i t i e x e x x führt zu n entkoppelten Differentialgleichungen für die zeitabhängigen Terme y i , welche ihrerseits einen Vektor y bilden.      y x , x y x x 2 1 i i  0 y k y m i i i i     1 x M x m i T i i   i T i i x K x k  0 x K x x M x j T i j T i   Alternative: Mit dem Ansatz i i i m 1 i i i ) t sin B t cos A ( ) t ( x        wobei i  Eigenvektoren bedeuten, erhält man die Eigenwertaufgabe   0 x K M 2      reelle Eigenwerte i i 2 i x K x M   { 2 1 x , x ..: Eigenvektoren} 85 Nach Multiplikation von links mit T i x ergibt sich i i 2 i k m    i  (Eigenkreisfrequenz)  i / 2  Eigenfrequenz in Hz (Hertz) bzw. s -1 . Bemerkungen:  Eigenvektoren sind sogenannte verallgemeinerte orthogonale Koordinaten des Schwingungsverhaltens eines Körpers bzw. eines FE-Modells. Aus deren gewichteten Überlagerung ( Partizipationsfaktor) ergibt sich die Antwort (“Response“) einer jeden Struktur auf eine dynamische Anregung.  Bei der Erstellung des FE-Modells ist insbesondere darauf zu achten, dass die Dichte des Materials eingegeben ist und alle Masseinheiten kompatibel sind.  Eigenfrequenzen sind auf die Randbedingungen des FE-Modells sehr empfindlich. Wenn irgend möglich, sind die gerechneten Eigenfrequenzen (und Eigenschwingungsformen) bestehender Strukturen durch experimentelle Modalanalyse zu verifizieren. Gegebenenfalls kann das Rechenmodell mittels spezieller Software durch deren einschlägige Korrelations-, Sensitivitäts- und Optimierungsalgorithmen an die gemessenen Verhältnisse angepasst werden. Beispiel: Eigenschwingungen eines einseitig eingespannten Trägers oder einer vergleichbaren Welle Für einen Träger (Gesamtlänge L) gemäss Bild seien die tiefsten zwei Eigenfrequenzen mit zugehörigen Schwingungsformen gesucht. Man versteht daraus, dass ein Modell dieser Struktur mindestens zwei Freiheitsgrade haben muss. Um möglichst einfach aber allgemein zu bleiben, entscheiden wir uns für die Einführung von zwei Elementen unterschiedlicher Länge. Deren Massen betrachten wir je zur Hälfte links und rechts in den zugehörigen Knoten konzentriert und erhalten m 1 und m 2 . Die angesprochenen 2 Feiheitsgrade unseres Modells sind die Durchbiegungen in B und C. EI, m 1 2 Diskretisierung durch 2 Balkenelemente A B C 86 Gleichgewichtsbedingungen gemäss Prinzip von d`Alembert ergeben: 0 F x m 1 1 1     0 F x m 2 2 2     Man beachte, dass die Kräfte F 1 , F 2 von den Auslenkungen x 1 und x 2 abhängen. Die zugehörigen Zusammenhänge können wie folgt formuliert werden: 2 12 1 11 1 F h F h x   2 22 1 21 2 F h F h x   wobei h ik die jeweilige Verschiebungseinflusszahl bedeutet. Bekanntlich sind EI 3 : h 3 1 11   ,   EI 6 3 2 : h h 2 1 2 1 21 12       ,   EI 3 : h 3 2 1 22     Für systematische Untersuchungen ist es jedoch günstiger mit der Krafteinflusszahl k ik zu arbeiten. 2 12 1 11 1 x k x k F   2 22 1 21 2 x k x k F   Man kann zeigen, dass   22 11 h k ,     12 21 12 h k k ,   11 22 h k , { 21 12 22 11 h h h h    } Daraus folgt:     2 1 2 2 3 1 3 2 1 11 4 3 EI 12 k          ,     2 1 2 2 1 2 1 21 12 4 3 3 2 EI 6 k k            ,   2 1 2 2 22 4 3 EI 12 k      Mit diesen Abkürzungen schreiben sich die Bewegungsgleichungen unseres Balkens als m 2 EI m 1 l 1 l 2 x 2 x 1 x 2 x 1 l 1 l 2 EI F 1 F 2 F 1 F 2 1 1 x m   2 2 x m   87 0 x k x k x m 2 12 1 11 1 1      0 x k x k x m 2 22 1 21 2 2      oder in Matritzenform 0 x x k k k k x x m 0 0 m 2 1 22 21 12 11 2 1 2 1                               (*) bzw. 0 Kx x M     Hinweis: In allgemeinen Fällen ist auch die Massenmatrix voll besetzt! D.h.        22 21 12 11 m m m m M Um das obige Gleichungssystem (*) zu lösen, verwenden wir nun den Ansatz t cos x x x o 2 o 1         Nach Einsetzen in (*) erhalten wir - unter Berücksichtigung, dass die Lösung für alle Zeiten gelten soll - 0 x x k k k k x x m 0 0 m o 2 o 1 22 21 12 11 o 2 o 1 2 1 2                             bzw. 0 x x m k k k m k o 2 o 1 2 2 22 21 12 1 2 11                  Diese homogene Gleichung besitzt nur dann eine Lösung, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix null wird. Die Wurzeln  I 2 und  II 2 der zugehörigen biquadratischen “charakteristischen“ Gleichung bzw. des Eigenwertpolynoms führen schliesslich zu den Eigenkreisfrequenzen  I und  II . 2 1 21 12 22 11 2 1 2 11 2 22 1 11 2 22 1 , 2 m m 2 ) k k k k ( m m 4 ) k m k m ( k m k m            I ,  II 0 k k ) m k )( m k ( 21 12 2 2 22 1 2 11       88 Um die Eigenvektoren als relative Amplituden pro Eigenfrequenz zu bestimmen, setzen wir im folgenden z.B. für die Amplituden x I10 =1 und x II20 =1 ein. Die jeweils andere Amplitude ergibt sich danach als x I20 = - (k 11 - I 2 m 1 )/ k 12 x II10 = - (k 22 - II 2 m 1 )/ k 21 Somit kann man sich die Eigenschwingungsformen bildlich vorstellen, welche den Eigenkreisfrequenzen  I und  II zugeordnet werden. Eigenvektor I Eigenvektor II Bemerkungen:  Man führe eine Handrechnung an einem Einmassenschwinger als Ersatz für diesen Träger durch und vergleiche die Eigenfrequenz mit der oben gefundenen ersten.  Die oben illustrierte Vorgehensweise entspricht eher der Behandlung eines Zweimassenschwingers gemäss Figur unten bzw. eines linearen Federn- Massen-Systems mit dem Freiheitsgrad 2. Sie wurde der Anschaulichkeit halber gewählt. Wie man sich durch Einblick in die Steifigkeitsmatrizen für Balken (Abschnitt 2.10) vergewissern kann, wäre sonst für dasselbe Problem eigentlich ein 4x4 Gleichungssystem aufzustellen und zu lösen. Die vier unbekannten Lagekoordinaten wären dann je eine Verschiebung und Verdrehung in B bzw. C. X II20 X II10 X I10 X I20 k 1 k 2 m 1 m 2 89 Methoden zur Lösung der Bewegungsgleichung 7.3 Für die Eigenschwingungsanalyse (d.h. Berechnungen im Frequenzbereich) wie auch für die Lösung einer allgemeinen dynamischen Aufgabenstellung (z.B. transiente Belastung) im Zeitbereich verfügen die FE-Programme über eine grössere Auswahl von Algorithmen (z.B. Lanczos, Power Sweep bzw. Newmark, Central Difference, Houbolt, etc.). Um den Rahmen dieses Buches nicht zu sprengen, wird im folgenden lediglich das Newmark-Algorithmus exemplarisch etwas näher erläutert. 7.3.1 Das Newmark-Verfahren Ausgangspunkt des Integrationsverfahrens von Newmark ist die Bewegungsgleichung zum Zeitpunkt t t   : t t t t t t t t F cu u k u m               Die Beschleunigung wird im Zeitintervall t  mit dem Mittelwert 2 u u u t t t           eingesetzt. Durch Integration folgt daraus:   2 t u u u u t t t t t t                 4 t u u t u u u 2 t t t t t t t                Die vorherige Beziehung wird nach t t u     aufgelöst:   t t t t t 2 t t u u t 4 u u t 4 u                            und in die Beziehung für die Geschwindigkeit eingesetzt:   t t t t t t u u t 2 u u                                                     t t t t t 2 t t t t 2 u u t 2 k u u t 4 u t 4 m F u c k t 2 m t 4     Bei gegebenem t t F   , t u , t u  und t u   lässt sich daraus t t u   bestimmen. Anschliessend ergeben sich die Geschwindigkeit und die Beschleunigung zum 90 Zeitpunkt t t   . Die hier geschilderte Integrationsmethode wurde von Newmark modifiziert. Bei seiner Variante wird für die Beschleunigung im Zeitintervall t ein gewichteter Mittelwert eingesetzt:     t t t u u 1 u              Darin ist  ein Wichtungsfaktor. Unter Einführung eines zweiten Wichtungsfaktors  ergeben sich daraus durch Integration:     t u u 1 u u t t t t t t                  2 t t t t t t t t u u 2 1 t u u u                               Man kann zeigen, dass mit   1/ 4 und   1/ 2 das Newmarksche Integrationsverfahren numerische Stabilität gewährleistet bzw. ohne Konvergenzprobleme funktioniert. Um grösstmögliche Genauigkeit zu erreichen werden die Mindestwerte eingesetzt. Bemerkungen Falls bei einer transienten dynamischen FE-Berechnung die Zeitschrittlänge vom Algorithmus her durch den Benutzer gewählt werden kann oder sogar muss, ist darauf zu achten, dass  abgeschätzt wird, welcher Frequenzbereich für die Respons der Struktur relevant ist,  eine Zeitschrittlänge (d.h. t) spezifiziert wird, welche etwa 10% der Periode der noch relevanten Eigenschwingung (also der höchsten im betrachteten Frequenzband) nicht übersteigt. Tests mit unterschiedlichen Schrittlängen t im Hinblick auf die Reproduzierbarkeit der Ergebnisse erweisen sich in der Regel als sehr nützlich, um sich von der Eignung der definitiv gewählten Grösse zu überzeugen. Falls höhere Eigenfrequenzen relevant sind, ist bei der Vernetzung der Struktur vor Augen zu halten, dass  durch entsprechende Verfeinerungen  zugehörigen Eigenschwingungsformen Raum gewährt wird. Wenn irgend möglich, ist eine Eichung des FE-Modells (durch Ergebnisse aus Schwingungsmessungen oder einer experimentellen Modalanalyse, aber auch mittels statischer Versuchsresultate) besonders zu empfehlen. 91 8 Thermische FE-Berechnungen Die Erfassung der Temperaturverteilung in einem Körper kann aus verschiedenen Gründen von Interesse sein, z.B.  Beurteilung der Einhaltung von zulässigen Betriebstemperaturen  Evaluation von Wärmebzw. Energieverlusten  Untersuchung der Einflüsse auf die Beanspruchung und Ermüdung. Bei einer thermischen Berechnung (Wärmeübergangsberechnung), linear oder nichtlinear, kann zwischen stationären und instationären (transienten) Lösungen unterschieden werden. Beispiel: Aufstellung von thermischen Gleichgewichtsbedingungen für stationären Wärmefluss durch eine Wand bestehend aus 3 homogenen Schichten Temperaturverteilung: Die Temperaturverteilung in der Wand ist durch die Temperaturen T 1 , T 3 an den beiden äusseren Flächen und die Temperatur T 2 an der Trennfläche bestimmt! T 0 1 2 d 1 d 2 T 1 T 2 T 3 T 4 Wärmeübergangszahl 3k Wärmeübergangszahl 2k Wärmedurchgangszahl Wärmedurchgangszahl 92 Ist q der Wärmestrom, der durch diese Wand fliesst, so gilt nach dem Wärmeleitungsgesetz: für die linke Oberfläche: q 1 =3k(T 0 -T 1 ) für die linke Schicht: q 2 =2k(T 1 -T 2 ) für die rechte Schicht: q 3 =3k(T 2 -T 3 ) für die rechte Oberfläche: q 4 =2k(T 3 -T 4 ) Unter Berücksichtigung der Kontinuitätsbedingung für den Wärmestrom erhält man aus (*) 3 Gleichungen: q 1 = q 2 = q 3 = q 4 3k(T 0 -T 1 )= 2k(T 1 -T 2 ) 2k(T 1 -T 2 )= 3k(T 2 -T 3 ) 3k(T 2 -T 3 )= 2k(T 3 -T 4 ) oder in Matrizenform:                                    4 0 3 2 1 2kT 0 3kT T T T 5k 3k 0 3k 5k 2k 0 2k 5k K t T q T 1, T 2, T 3 Idee: Plazierung von finiten Elementen zwischen Knoten 1 und 2 bzw. 2 und 3 analog zu Stabelementen, jedoch mit dem Freiheitsgrad Temperatur (T) anstelle von Verschiebung (u) für jeden Knoten  praktisch gleiche FE- Formulierung anhand von Interpolationsfunktionen, Steifigkeitsmatrizen, usw. * T 1 T 3 T 2 x 2 3 1 93 Grundlagen aus der Wärmelehre 8.1 Die typischen Gesetzmässigkeiten bei einem thermischen Vorgang werden im folgenden durch Betrachtungen an einem inkrementellen Teilkörper illustriert. Selbstverständlich sind diese Zusammenhänge auch für finite Elemente gültig. Bezeichnung der Zustandsgrösse Temperatur Wärmestromdichte Wärmequellendichte Symbol T q T = {q x , q y , q z } f Einheit K oder °C 2 m W 3 m W Energiebilanz dt dz dy dx f dt dz dy dx t T c dt dz dy dx z q y q x q p z y x                                         Fouriersches Gesetz der Wärmeleitung                                          z / T y / T x / T 0 0 0 0 0 0 q q q z y x z y x Wärmeleitungsgleichung f t T c z T y T x T p 2 2 z 2 2 y 2 2 x                           y x z dy dx dz q x d ydz q y dxdz dydz dx x q q x x          dxdy dz z q q z z          dxdz dy y q q y y            q = q (x, y, z, t) T = T (x, y, z, t) 94 Analogie zwischen thermischer und mechanischer FE- 8.2 Berechnung Der enge Zusammenhang zwischen einem dreidimensionalen, stationären Wärmeleitungsproblem und einem mechanischen Problem an einem dreidimensionalen, gebetteten Kontinuum kann anhand der folgenden Tabelle veranschaulicht werden. Physikalisches Problem Wärmeleitung dreidimensionales, gebettetes Kontinuum unabhängige und abgeleitete Zustandsgrösse T             z T , y T , x T   z y x q , q , q    f u  T  T p Operatoren und Matrizen in B             z , y , x              z y x 0 0 0 0 0 0 T u g D D   C wesentliche Randbedingungen auf R T : 0 T T R r   auf R u : 0 u u R r   zusätzliche Randbedingungen auf R q : 0 q q R r   auf R  : 0 R r     Randbedingungen auf R 3   r R nr T T q       r R R nr u u C    T Bereich B R 3 R R q u Bereich B R 3 R u R u R u R R  95 Thermisch induzierte Beanspruchung 8.3 Veränderungen der Temperatur gegenüber einem Referenzzustand verursachen naturgemäss Dehnungen. Gestützt auf die Temperaturverteilung im Körper bzw. im FE-Modell, welche  wie oben besprochen  als Dauerzustand oder als Funktion der Zeit ermittelt werden kann, können durch eine weitere, diesmal mechanische FE-Berechnung auch die zugehörigen Dehnungen bestimmt werden. Dieselbe Analyse liefert zudem allfällige Spannungen, welche aufgrund lokal oder global unterdrückter Verzerrungen entstehen. Nebst möglichst genauer Beschreibung des thermischen Vorgangs sind folgende Punkte bei einer solchen Untersuchung zu beachten:  Ausreichende Verfeinerung des FE-Netzes im Oberflächenberich in normaler Richtung  Adäquate Zeitschrittlänge / Gewährung genügender Anzahl Zeitschritte  Wahl des für die extreme Beanspruchung massgebenden Zeitpunktes durch kritische Evaluation der Temperaturverteilungen. 8.3.1 Spannungen durch Thermoschock Wird eine hautdünne Schicht einer Platte oder Schale, z.B. eines Rohrs, sprunghaft, d.h. in einer relativ kurzen Zeitspanne t, beträchtlich abgekühlt bzw. abgeschreckt, während das Temperaturniveau im restlichen Bereich unverändert bleibt, kann diese materielle Schicht die zugehörigen Dehnungen nicht nachvollziehen. Sie wird durch den Restbereich gestreckt und somit im alten Zustand gehalten. Solche Membranspannungen betragen für den eindimensionalen Fall gemäss T      = E ( Wärmeausdehnungskoeffizient) wobei T die Temperaturdifferenz zwischen der angesprochenen hautdünnen Schicht (Mittelwert) und dem Restkörper bedeutet. 8.3.2 Spannungen durch behinderte Krümmung Durch Temperaturgradienten über die Dicke eines Balkens bzw. einer Platte oder Schale werden erwartungsgemäss Krümmungen hervorgerufen. Im Verhinderungsfall durch Lager, etc. führen die zugehörigen unterdrückten Dehnungen zu Biegespannungen. Falls nicht ausgeschlossen werden kann, dass solche Spannungen  bedingt durch die Betriebsbedingungen  beträchtliche Grössen erreichen, dann ist ihre Mitberücksichtigung bei einer Spannungsanalyse unerlässlich. Eine Überschlagsrechnung per Hand kann dabei helfen, die Grössenordnung der potentiellen thermischen Beanspruchung abzuschätzen. 96 h z T s s s o o       o s s z           1 s s z 1 o  h T 1     Darin sind:  : = Wärmeausdehnungskoeffizient 1/  = Krümmung ( = Krümmungsradius) Wie man sich aus der Festigkeitslehre erinnern kann, wären entsprechende Biegespannungen zu erwarten, wenn diese Krümmung  z.B. durch die Lagerung  unterdrückt wird, bzw. nicht stattfinden kann:  max =E max =ET/ 2  s o s z T h T+T + T+T/ 2 T/ 2 97 9 Regeln für den Umgang mit der FE-Methode Folgende Auflistung soll einen Überblick darüber geben, was alles zu einer FE-Modellierung gehört: Grundsätzliche Aspekte eines FE-Modells Vereinfachung der Geometrie (sie dient als Träger der Knoten und Elemente)  Entscheidung für ein Linien-, Flächen- oder Volumenmodell,  Gebrauch von Symmetrien Idealisierung der Auflagebedingungen (Umschreibung vorgegebener Verschiebungen)  Einschränkung entsprechender Freiheitsgrade Idealisierung der Belastungen  Einzel- oder verteilte Kräfte und Momente, Streckenlast, Druck, Beschleunigung  statisch/ quasistatisch/ dynamisch  Temperatur; stationär oder nichtstationär  sinnvolle Lastkombinationen Mögliche Elementtypen  Entscheidung für Stab, Balken, Scheibe, Membrane, Platte, Schale, Volumenelemente  Elemente mit oder ohne Zwischenknoten Elementdaten  Querschnitt, Trägheitsmomente, Dicke, Vorspannung Grösse und Aufbau des FE- Netzes  globale und lokale Netzfeinheit  Elementform, “aspect ratio“ Werkstoffeigenschaften  Materialgesetz, Versagenskriterium  Materialparameter (E, ,  F , , , etc.) 98 Die FEM wird in der Technik eingesetzt um eine Vielzahl von Fragestellungen zu bearbeiten, die sich bei der Produkt- und Prozessentwicklung, bei der Schadensanalyse usw. stellen. Neben den Grundlagen der Methode sind eine ganze Anzahl von Kenntnissen und Fähigkeiten notwendig, um effizient angemessene Antworten zu finden. In diesem Kapitel sollen Sie einerseits einen Überblick über diese Kompetenzen erhalten und andererseits den Simulationsprozess kennen lernen, der im Ingenieurumfeld eingesetzt wird. Kompetenzen 9.1 Die Lösung von anspruchsvollen Ingenieurproblemen mit Hilfe der FEM- Simulation ist eine komplexe Aufgabe. Es gibt nur in den einfachsten Fällen “Kochrezepte”, mit denen man sicher ans Ziel kommt. In der Regel müssen laufend anspruchsvolle Entscheide gefällt werden, ohne dass vollständige Entscheidungsgrundlagen vorhanden sind. Manchmal werden die Grenzen des eigenen Sachwissens erreicht. Entsprechend besteht die Gefahr an einer Kleinigkeit hängen zu bleiben oder die Orientierung zu verlieren. Darum ist es wichtig, dass der Anwender einen Überblick über die Kompetenzen hat, welche für den professionellen Einsatz der FEM-Simulation notwendig sind. So erkennt er einfacher wo die Schwierigkeit liegt und findet schneller einen Ausweg. Wir gehen von einem typischen Einsatz der FEM-Simulation aus: Während einer Produktentwicklung müssen die Gestaltung und die Bemessung eines Bauteils festgelegt werden. Zu diesem Zweck wird ein FEM-Modell aufgebaut, welches das wesentliche mechanische Verhalten des Originals voraussagt. Dies ist in dieser Grafik dargestellt: Damit ein FE-Modell aufgebaut werden kann ist die Beherrschung eines FEM- Tools nötig. Dies ist die erste Kernkompetenz. Vorher muss aber die Physik des Problems ingenieurmässig idealisiert und dann die Art der FEM- Modellierung abgeleitet werden. Nach der Analyse müssen die 99 Simulationsergebnisse validiert und anschliessend interpretiert werden. Mit diesen vier Aufgaben wird der Graben zwischen dem Original in der realen Welt und dem virtuellen Modell überbrückt. Sie werden unter dem Begriff Simulations-Technik zusammengefasst und stellen die zweite Kernkompetenz dar. Damit die Arbeiten zügig fortschreiten und nichts vergessen geht ist als dritte Kernkompetenz eine systematische Vorgehensweise notwendig. Sie wird im FEM-Prozessmodell zusammengestellt: 1. Klären der Aufgabenstellung 2. Idealisierung 3. Modellbildung 4. Analyse 5. Auswertung 6. Dokumentation Das FEM-Prozessmodell und die Simulationstechnik sind das Thema des Abschnittes 9.2. Die drei Kernkompetenzen sind eingebettet in ein Umfeld von Wissen und Methoden. Es kann in vier Bereiche eingeteilt werden: I. Das Orientierungswissen zur FE-Methode ist Wegweiser im Bereich der Kernkompetenzen. Dazu gehören zum Beispiel ein Überblick über die Möglichkeiten der FE-Tools, oder ein Überblick über den mathematischen und den numerischen Hintergrund der Methode. II. Das Orientierungswissen zum Produkt-Umfeld verschafft Klarheit über die Physik des Ingenieur-Problems, die notwendigen Ingenieur- Grundlagen und die Möglichkeiten zur Idealisierung. III. Die Entscheidungsfähigkeit ist die dritte Komponente des Kompetenz- Umfeldes. Angesichts der Komplexität der FE-Simulation kommt ihr grosse Bedeutung zu. Es ist wichtig, dass auch ohne vollständige Grundlagen angemessene Entscheide gefällt werden können. IV. Und das vierte Element ist die Methodik zur Informationsbeschaffung. Man muss nicht alles wissen, aber genug für einen seriösen Entscheid. Der Informationsbedarf kann mit formellen (Literaturstudie, WWW, Support-Hotline, Benutzertreffen usw.) und ebenso wichtigen informellen Mitteln (Kaffeepausengespräche, Feldkontakte) gedeckt werden. Dieses Orientierungswissen kann nicht abschliessend zusammengestellt werden, denn es ist naturgemäss sehr weitläufig und von der aktuellen Aufgabenstellung abhängig. Die drei Kernkompetenzen und das Orientierungswissen bilden zusammen die notwendigen Kompetenzen für die professionelle Anwendung der FEM- Simulation: 100 Was hilft es Ihnen, wenn Sie diese Zusammenhänge kennen? Immer wenn Sie auf hartnäckige Schwierigkeiten stossen ist es wichtig, dass Sie Abstand nehmen und die Lage beurteilen. Eine der ersten Fragen die Sie beantworten müssen ist: Wo liegt mein Problem? Die Antwort finden Sie einfacher mit der oben aufgezeigten Struktur. Nun können Sie gezielt Unterstützung suchen. Das FEM-Prozessmodell 9.2 Bei der Durchführung einer FEM-Simulation wird mit Vorteil eine systematische Vorgehensweise eingehalten. In diesem Abschnitt sollen Sie diese Vorgehensweise in Form des FEM-Prozessmodells kennen lernen. Die darin beschriebenen Schritte sind für viele Anwendungsfälle in der linearen Statik typisch. In einfacheren Analysen können einige Schritte übersprungen werden, in anspruchsvolleren ist mehr nötig. Die Reihenfolge der Schritte ist sinnvoll, aber nicht zwingend. Nicht selten ist auch ein iteratives Vorgehen nötig. 101 9.2.1 Klären der Aufgabenstellung Immer wenn anspruchsvolle Aufgaben gelöst werden, steht am Anfang eine Analyse der Aufgabenstellung: Die Geometrie der Struktur oder des Bauteils, die Werkstoffe, die planmässige Lasten, das Umfeld der Struktur usw. müssen erfasst werden und es muss möglichst klar und einfach beschrieben werden, was erreicht werden soll. Als wichtigstes Ergebnis liegt ein Pflichtenheft vor, das mit dem Auftraggeber abgesprochen ist. 9.2.2 Idealisierung Die Idealisierung ist der erste Schritt vom Original zum Simulations-Modell. Es wird festgelegt, welche physikalischen Effekte berücksichtigt werden müssen, damit die Ziele der Simulation mit minimalem Aufwand erreicht werden können. Auch wenn Sie eine Struktur mit klassischen Mitteln berechnen, müssen Sie eine Idealisierung vornehmen. Bei der FEM-Simulation ist diese Aufgabe zwar nicht schwieriger, aber vielfältiger aufgrund der umfangreichen Möglichkeiten welche die FEM-Tools heute bieten. Darum muss systematischer und ausführlicher vorgegangen werden: 1. Lasten Als erstes müssen die Lasten festgelegt werden. Darunter werden die physikalischen Effekte verstanden, welche zu einer wesentlichen Beanspruchung der Struktur oder des Bauteils führen. Am häufigsten treten Gravitationslasten auf. Ein Temperaturfeld kann auch eine Last sein, ebenso 102 wie eine aufgebrachte Verschiebung oder eine Fliehkraft. Wenn unklar ist, ob eine Last berücksichtigt werden muss, oder ob sie vernachlässigt werden kann, muss dies mit Überschlagsrechnungen oder Versuchen abgeklärt werden. Es ist empfehlenswert sich bereits jetzt zu überlegen, welche Lasten gemeinsam auftreten und darum in Lastfällen kombiniert werden müssen. 2. Versagensarten Nun folgt die Abschätzung des erwarteten Verhaltens der Struktur unter den auftretenden Lasten. Sie stellt den Kern der Idealisierung dar. Mit möglichst einfachen Mitteln wird bestimmt, welche Versagensarten unter den Lasten auftreten können. Es können zwei Gruppen von Versagensarten unterschieden werden: a) Werkstoffversagen: Das Werkstoffversagen tritt wegen einer Überbeanspruchung des Werkstoffs auf. Es ist in der Regel ein lokaler Effekt. Je nach Werkstoff können viele verschiedene Versagensarten auftreten. Dies sind zum Beispiel: unzulässige plastische Verformung, Kriechen, Gewaltbruch, Ermüdungsbruch usw. b) Strukturversagen: Am Strukturversagen sind meistens grössere Bereiche der Struktur beteiligt. Auch hier gibt es eine ganze Anzahl von Versagensarten wie: unzulässige elastische Verformungen, statische Instabilität (Kippen, Knicken, Beulen, Knittern), dynamische Instabilität (Resonanz, Flattern) usw. Bei der Abschätzung des erwarteten Strukturverhaltens ist der ganze Ingenieur gefordert: Es sind die Kenntnisse der Technischen Mechanik und des Werkstoffverhaltens unerlässlich ebenso wie eine genaue Kenntnis der Funktion der Struktur und des Umfeldes, in dem sie eingesetzt wird. In den einfacheren Fällen werden Überschlagsrechnungen durchgeführt. Manchmal wird es aber auch nötig sein, eine FEM-Simulation mit einem stark vereinfachten Modell einzusetzen. 3. Einfluss der Zeit Nun muss bestimmt werden, welchen Einfluss die Zeit auf das Strukturbzw. Materialverhalten hat. In der Strukturmechanik wird häufig statisch gerechnet. Zeiteinflüsse werden mit Lastfaktoren, oder bei der schwingenden Beanspruchung durch eine Verminderung der Werkstofffestigkeit berücksichtigt. Ob und in welcher Form dies zulässig ist muss sauber begründet werden. Dazu können wieder Überschlagsrechnungen wertvollen Input liefern. 4. Nichtlinearitäten Erst mit den FEM-Tools ist es möglich geworden, Nichtlinearitäten im grossen Stil zu berücksichtigen. Es muss abgeklärt werden, ob wesentliche Nichtlinearitäten auftreten und wie sie berücksichtigt werden können. Dabei kann man sich an diese Einteilung der Nichtlinearitäten halten: o geometrische Nichtlinearität: grosse Verformungen und deren Folgen, z.B. Nachbeulverhalten 103 o nichtlineares Werkstoffgesetz: Plastizität, hyperelastisches Verhalten mit Hysterese (wie beim Gummi), unterschiedliches Verhalten unter Zug und Druck, Viskoplastizität usw. o nichtlineare Randbedingungen: Kontakt bei grossen Verformungen, Gleiten und Reibung an Lagerstellen, progressive oder degressive Federung der Lager (Kontakt-Probleme), ein Seil ist je nach Belastungsniveau angespannt oder schlaff (Zustandsänderung). 5. Weitere Umweltbedingungen Das Strukturverhalten kann durch weitere Umweltbedingungen beeinflusst werden. Auch diese müssen je nach dem berücksichtigt werden, zum Beispiel: o Einfluss von hohen oder tiefen Temperaturen auf das Werkstoffverhalten o Versprödung von metallischen Werkstoffen bei Anwesenheit von Wasserstoff. o Korrosion durch aggressive Medien o Reibkorrosion (Fretting) bei aufeinandergepressten Flächen o Verlust der Festigkeit wegen UV- oder radioaktiver Strahlung 6. Systemgrenzen Als nächstes werden die Systemgrenzen festgelegt. Dies ist eine Aufgabe, die Sie aus der klassische Mechanik gut kennen. Da mit der FEM wesentlich kompliziertere Strukturen untersucht werden können, muss sie wesentlich detaillierter gelöst werden. Je weiter Sie die Systemgrenzen ziehen, desto genauer können Sie das Verhalten der interessierenden Strukturteile beschreiben, aber desto komplizierter und aufwendiger wird die Simulation. Sie müssen also einen geschickten Kompromiss finden, um effizient ans Ziel zu kommen. In den gleichen Problemkreis gehört die Frage, ob Symmetrien berücksichtigt werden können und sollen. 104 Bild 9.1: Die Geometrie der Struktur kann unterschiedliche Arten von Symmetrien aufweisen. Die Systemgrenze legt auch fest, wo im Modell Bindungen zur Umwelt aufgebracht werden müssen. Es muss auch abgeklärt werden, ob diese Bindunge als starr betrachtet werden können. 7. Systemskizze Es ist sehr zu empfehlen, die Idealisierung in einer oder mehreren Systemskizzen zu dokumentieren. Oben sind die Schritte der Idealisierung linear aneinandergereiht vorgestellt worden. Bei der Arbeit ist aber häufig ein iteratives Vorgehen notwendig. Wenn zum Beispiel untersucht wird ob ein Stabilitätsversagen auftreten kann, müssen die Lasten so gewählt werden, dass sie für diese Versagensart den ungünstigsten Fall darstellen. Oder es wird nach der Abklärung der weiteren Umwelteinflüsse klar, dass zusätzliche Lasten berücksichtigt werden müssen. Spiegelsymmetrie Axialsymmetrie “repetitive” Symmetrie Rotationssymmetrie 105 9.2.3 Modellbildung Im zweiten Schritt vom Original zum Modell wird abgeklärt, wie die idealisierte Physik mit der FE-Methode beschrieben werden kann. Dabei wird das numerische Modell aufgebaut. Während bei der Idealisierung der Ingenieur fast die ganze Breite seines Wissens einsetzen muss, ist bei der Modellbildung vor allem eine gute Kenntnis des FEM-Tools und Kenntnisse der mathematischen Grundlagen erforderlich. Hier ist der Spezialist gefordert. Die Arbeiten können in sechs Themen gruppiert werden: 1. Analysetyp festlegen In der Regel wird mindestens zu Beginn eine lineare Analyse durchgeführt: o Bestimmung der Verformungen und der Beanspruchung o Bestimmung der Eigenfrequenzen / Eigenmoden o Bestimmung der kritischen Lasten (Statische Stabilität). Anschliessend kann es notwendig sein, eine dynamische, eine nichtlineare oder eine kombinierte Analyse durchzuführen. Dazu stellen die gängigen Softwarepakete verschiedene Möglichkeiten zur Verfügung. 2. Wahl der Elementtypen und der typischen Elementgrösse Mit den Elementen wird die Ansatzfunktion und damit das mathematische Modell festgelegt, mit dem das Strukturverhalten beschrieben wird. Meist muss dabei ein Kompromiss zwischen Rechenaufwand, Modellierungsaufwand und Qualität der Ergebnisse gefunden werden. Für alle Teile der Struktur muss bestimmt werden: o ob sie als linienförmig, flächenförmig, oder volumenförmig betrachtet werden können, o ob Symmetrien oder bestimmte Spannungs- oder Verzerrungszustände berücksichtigt werden sollen, o und bei Balken- Platten- oder Schalenelementen ob die Querkraftbeanspruchung wesentlich ist. Auf Grund dieser Kriterien werden die Elementtypen ausgewählt, zum Beispiel Balkenelemente für dünne, linienförmige Strukturbereiche, Plattenelemente (Kirchhoff-Elemente) ohne Berücksichtigung der Querkraftbeanspruchung für dünne, flächenförmige Strukturbereiche, welche vorwiegend Biegung ausgesetzt sind, ebenso Membranelemente für Bereiche in flächenförmigen, druckbeaufschlagten Bauteilen, die keine Biegesteifigkeit aufweisen, „Plain Strain“-Elemente für Bauteile mit ebenem Verzerrungs-zustand usw. Auch die Grösse der Elemente muss festgelegt werden. In Bereichen der Struktur wo grosse Spannungsgradienten erwartet werden und in welchen genaue Ergebnisse erforderlich sind, müssen kleinere Elemente und/ oder Elemente mit Ansatzfunktionen von höherer Ordnung eingesetzt werden. Bei dreieckigen oder Tetraeder-Elementen sollte man immer jene mit Mittelknoten verwenden. 106 3. Modellierung der Struktur Beim Aufbau des Netzes aus Finiten Elementen hat der Analyst ein weites Feld von Möglichkeiten offen, um seine Kompetenz zu zeigen. Ein routinierter Anwender kann die vorhandenen Modellierungs-Tools optimal einsetzen und viel Zeit gewinnen. Eine wichtige Frage die beantwortet werden muss ist die Verwendung von CAD-Daten als Grundlage des Modells. Je nach der Komplexität der Geometrie, der Qualität des CAD-Daten, den Möglichkeiten des FEM-Tools und der Art der Aufgabe kann der Entscheid unterschiedlich ausfallen. Ferner ist beim Preprozessing dafür zu sorgen, dass den Elementen die richtigen Werkstoff- und Querschnittseigenschaften zugewiesen werden. Wichtig ist auch, dass doppelte Knoten an Grenzen von Vernetzungsbereichen zusammengefügt werden („mergen“). 4. Lasten und Bindungen Die Lasten müssen entsprechend der Idealisierung als statische oder zeitabhängige Körper- Flächen oder Einzellasten aufgebracht werden. Eine geschickte Aufteilung in Lastfälle, deren Ergebnisse bei Bedarf überlagert werden können, ist empfehlenswert. Die Kontaktstellen des Systems zur Umwelt müssen durch starre oder elastische Bindungen oder eben als Kontakte mit oder ohne Reibung modelliert werden. 5. Werkstoffverhalten Es muss festgelegt werden, mit welchem Werkstoffmodell und mit welchen Versagenskriterien das erwartete Verhalten modelliert werden kann: Genügt das linear-elastische, isotrope Modell oder muss gemäss Idealisierung eine Richtungsabhängigkeit oder eine Nichtlinearität berücksichtigt werden? 6. Verifikation Zum Schluss wird kontrolliert, ob beim Aufbau des Modells keine Fehler unterlaufen sind. Zu diesem Zweck wird das Modell dokumentiert. Dieses Dokument hat mindestens folgenden Inhalt: o Die Elementeinteilung wird mit Bildern der vernetzten Struktur dokumentiert. Kritische Stellen werden in Ausschnitten dargestellt. Das Ergebnis von Qualitäts-Checks des Systems wie aspect ratio, warp, taper wird als Text in die Dokumentation eingefügt. Falls zuviel Text vorhanden ist, können von langen, gleichartigen Aufzählung die mittleren Zeilen gelöscht werden. o Die Dokumentation der Elementkoordinatensysteme von Balken und Plattenelementen ist sehr wichtig: Bei Balken sind sie massgebend für die Querschnittsparameter, wie die Flächenträgheitsmomente, und für die Schnittkräfte. Bei Platten werden die Spannungskomponenten an den gemeinsamen Knoten falsch gemittelt, wenn die lokalen Koordinatensysteme an benachbarten Elementen nicht übereinstimmen. 107 Die Elementkoordinatensysteme können in der Regel mit Pfeilen grafisch dargestellt und als Bilder in die Dokumentation eingefügt werden. Häufig werden auch die obere und die untere Seite von Platten (Top, Bottom) unterschiedlich eingefärbt. o Die Werkstoffdaten werden als Listen in die Dokumentation kopiert. o Die Zuordnung der Werkstoffdaten zur Struktur kann am einfachsten mit einem Bild der Struktur kontrolliert werden, in dem den Werkstoffen verschiedene Farben zugewiesen sind. o Die Querschnittseigenschaften werden als Listen in die Dokumentation kopiert. o Für die Darstellung der Zuordnung der Querschnittseigenschaften gibt es meist zwei Möglichkeiten. Entweder mit Farben wie bei den Werkstoffdaten, oder das Programm bietet die Möglichkeit, die Geometrie der Querschnitte räumlich darzustellen. o Die Zahlenwerte und der Ort der Einleitung der Lasten können grafisch dargestellt werden. Wenn die Werte der Lasten im Bild nicht dargestellt werden können, müssen sie in Listen dokumentiert werden. o Auch die gebundenen Freiheitsgrade können grafisch dargestellt werden. o Die meisten FEM-Tools ermöglichen die bildliche Darstellung von Federn, Dämpfern, Constraint Equations, Kontakten usw., falls diese in das Modell eingebaut wurden. 9.2.4 Analyse Bei der linearen, statischen Simulation ist dies meist ein einfacher Schritt: Zuerst werden der Analysetyp und die gewünschten Ergebnisse festgelegt. Anschliessend wird die Simulation gerechnet und die Ergebnisse werden erzeugt. Bei nichtlinearen oder dynamischen Analysen müssen zusätzlich die Integrationsregel, die Schrittweite, Intervalle für Speicherung der Zwischenresultate, etc. festgelegt werden. 108 Bild 9.2: Programmablauf / Fliessschema einer FE-Berechnung Eingabephase:  Inputdaten einlesen  Platz-Zuweisung  Datenkontrolle Bildung des äquivalenten Knotenbelastungsvektors Aufbau von Steifigkeitsmatrizen Ausgabephase: Verschiebungen Dehnungen Spannungen Inkrementelle Anpassung der Belastung Übereinstimmung Nächstes Inkrement Stop Ja Ja Nein Nein Bildung und Lösung des Gleichungssystems 109 9.2.5 Auswertung 1. Validierung des Modells: Wenn die Analyse durchgeführt ist, muss als zuerst werden, ob das Modell tatsächlich das Verhalten des Originals zeigt. Dazu dient in der Regel als Erstes eine statische oder eine animierte Darstellung der Verformungen. Durch weitere Plausibilitätskontrollen und durch den quantitativen Vergleich mit dem Verhalten des Originals (Versuche, rechnerische Mittel usw.) wird das Modell geprüft. Dabei können auch die Ergebnisse der vorangehenden Überschlagsrechnungen eingesetzt werden. Eine weitere wichtige Kontrolle zielt auf den Diskretisierungsfehler. Darauf wird im folgenden Abschnitt 9.3 vertieft eingegangen. 2. Darstellung und Auswertung der Ergebnisse: Für die Darstellung der Ergebnisse (Reaktionskräfte, Verformungen, Spannungen usw.) stehen meist eine Vielzahl von Möglichkeiten zur Verfügung: o Graphische Darstellungen (Vektorplots, Isolinien, Isoflächen, etc.) o Diagramme (XY- Plots, History- Plots, etc.) o Listen, Tabellen Anschliessend werden die Ergebnisse ausgewertet. Sie müssen zuerst verstanden und dann in Bezug auf die angestrebten Ziele interpretiert werden. Dann werden die Schlussfolgerungen gezogen. Dabei wird in der Regel das gestellte Ingenieurproblem gelöst. FEM-Modell optimieren Je nach Aufgabenstellung kann es nötig sein, das FEM-Modell zu optimieren oder Parameterstudien durchzuführen. 9.2.6 Dokumentation Bei der Dokumentation wird häufig zwischen dem Bericht für den Auftraggeber und der vollständigen technischen Dokumentation der Simulation unterschieden. Beide werden parallel zum Arbeitsfortschritt aufgebaut und am Schluss vervollständigt. Die Unterlagen und die Daten werden archiviert. 9.2.7 Qualitätsmanagement Im FEM-Prozessmodell sind die Anforderungen der Qualitätssicherung durch die Verifikation der geleisteten Arbeit und die Validierung des Modells im Ablauf integriert. Die Rückverfolgbarkeit wird durch die Dokumentation und die Archivierung der Daten gewährleistet. 110 Diskretisierungsfehler, Konvergenz 9.3 Im Abschnitt 3.2 wurde gezeigt, dass wegen der Interpolation des Verschiebungsfeldes durch einfache Ansatzfunktionen ein Diskretisierungsfehler entsteht. Eine wichtige Aufgabe des Anwenders besteht nun darin zu zeigen, dass dieser Fehler genügend klein ist. 9.3.1 Einflussgrössen Drei Einflussgrössen, bestimmen den Diskretisierungsfehler: a) Die Art der Ansatzfunktion b) Der Grad der Änderung des Spannungsfeldes im Element c) Die Elementform a) Ansatzfunktion Je genauer die Ansatzfunktionen das tatsächliche Verschiebungsfeld annähern können, desto geringer ist der Diskretisierungsfehler. Bei der Wahl von Polynomen erster Ordnung ist zwar der Rechenaufwand für die Bestimmung der Elementsteifigkeitsmatrix verhältnismässig gering, die Veränderlichkeit des Verschiebungsfeldes innerhalb des Elementes ist aber entsprechend eingeschränkt. Die sogenannten p-Elemente weisen Formfunktionen auf, deren Grad wahlweise erhöht werden kann. Üblich sind Polynome bis zum 9. oder 10. Grad. Damit können sehr komplizierte Verschiebungsfelder abgebildet werden. Zwischen diesen Extremen liegen die Elemente mit Mittelknoten, sie weisen Ansatzfunktionen höherer Ordnung auf, als solche ohne Zwischenknoten. b) Änderung des Spannungsfeldes Die Verzerrungen und somit auch die Spannungen werden aus den Ableitungen der Verschiebungen gewonnen. Ihr Verlauf im Element wird also durch eine Funktion beschrieben, die um einen Grad tiefer ist als die Ansatzfunktion. Der Diskretisierungsfehler bei den Spannungen ist also grösser, als bei den Verschiebungen. Je stärker sich das Spannungsfeld im Element ändert, desto grösser ist der Diskretisierungsfehler. Darum müssen an Stellen mit stark änderndem Spannungsfeld, zum Beispiel im Bereich von Kerben, kleinere Elemente oder Elemente mit Ansatzfuktionen höherer Ordnung eingesetzt werden. c) Elementform Es kann gezeigt werden, dass möglichst “regelmässig” geformte Elemente genauere Ergebnisse liefern. Allzu spitze und stumpfe Ecken sind zu vermeiden. Der Aspect ratio bzw. das Verhältnis der Seitenlängen sollte etwa im Bereich 0.5…..2 liegen. Der enge Zusammenhang zwischen Elementform und Diskretisierungsfehler kann auf die Annäherung der Verschiebungsfelder durch Ansatzfunktionen zurückgeführt werden. Am besten geeignet sind also 111 das Quadrat, der Würfel, das gleichseitige Tetraeder und das gleichseitige Dreieck (wenn die letzteren überhaupt eingesetzt werden). Die Ergebnisse einer FEM-Simulation sind also genauer, wenn: ... Formfunktionen von hoher Ordnung angewendet werden ... sich das Spannungsfeld im Element wenig ändert ( kleine Elemente) ... die Elemente möglichst “regelmässig” geformt sind. 9.3.2 Beurteilung des Diskretisierungsfehlers Um nachzuweisen, dass der Diskretisierungsfehler genügend klein ist gibt es verschiedenen Möglichkeiten: a) Darstellung der ungemittelten Knotenspannungen Wegen dem Diskretisierungsfehler weisen Elemente an einem gemeinsamen Knoten unterschiedliche Spannungsergebnisse auf. Damit bei der grafischen Darstellung der Ergebnisse gleichmässigere Bilder entstehen, werden die Spannungswerte an den Knoten gemittelt. Dies ist zwar ansprechender, verhindert aber die Möglichkeit, auf einen Blick den Diskretisierungsfehler abzuschätzen: die Spannungsunterschiede zwischen den Elementen sind ein Mass dafür (siehe Bild unten). Darum sollten mindestens für die Validierung die ungemittelten Knotenspannungen dargestellt werden. 112 b) Konvergenzanalyse Der Nachweis dass die Ergebnisse konvergiert haben ist am sichersten mit einer Konvergenzanalyse möglich. Dafür wird eine Simulation mit immer kleineren Elementen durchgeführt. Wenn bei einer Halbierung der Elementlänge die Ergebnisse nicht mehr stark ändern, so kann davon ausgegangen werden, dass der Diskretisierungsfehler klein ist. Ob er genügend klein ist muss im Einzelfall abgeklärt werden. Das Bild zeigt eine Konvergenzanalyse für einen gekerbten Stab. c) Schätzwerte Viele FE-Programme bestimmen Schätzwerte für den Diskretisierungsfehler, die ähnlich wie die Spannungsergebnisse grafisch dargestellt werden können. d) Adaptive Vernetzung Häufig kann die Vernetzung mit einer adaptiven Methode automatisch an die Bedürfnisse angepasst werden. Dabei bestimmt das Programm einen Schätzwert für den Diskretisierungsfehler und verkleinert die Elemente dort, wo ein vorgegebener Grenzwert überschritten wird (h-Methode). Oder der Grad der Ansatzfunktionen wird heraufgesetzt (p-Methode). Ursachen möglicher Fehler bei der Modellierung 9.4 Eine fehlerfreie FE-Modellierung durchzuführen, ist eher die Ausnahme als die Regel. In mehreren Phasen einer Analyse können sich Fehler einschleichen. Sie können auch auf unterschiedliche Ursachen zurückgeführt werden. Je mehr man sich dieser Gefährdung bewusst ist, desto grösser ist die Chance, sie auf ein vertretbares Minimum zu beschränken. Im folgenden wird versucht, systematisch auf potentielle Fehlerquellen aufmerksam zu machen. 113 Bild 9.3: Zwingende Vereinfachungen bei der Geometrie haben Einfluss auf die Aussagekraft der Ergebnisse Fehler bei der Idealisierung  Problemtyp (z.B. Annahme von Zeit-, Temperaturunabhängigkeit / Annahme von Linearität)  Geometrie bzw. Form der Struktur (siehe Bild 9.3)  Topologie der Struktur (Vereinfachungen, Weglassungen, z.B. von kleineren Löchern, Verrippungen, Fasen)  Randbedingungen (“versteckte” Lager, “übersehene” Nachgiebigkeit des Lagers, Vereinfachungen bezüglich Reibung, Dämpfung, Klebverbindungen, Verschraubungen, Führungen, Schweissnähte, etc.)  Belastungen (unzulässige Annahmen bezüglich Angriffsstelle, Verteilung, Intensität, Zeitund/ oder Temperaturabhängigkeit, Weglassen von Eigengewicht oder Vorspannung)  Materialeigenschaften (unzutreffende Vereinfachungen: z.B. isotropes statt orthotropen Verhaltens, Streuung oder ungenügende Herstellerangaben bezüglich Parameter, Weglassung von Nichtlinearitäten, Temperaturabhängigkeit, nicht konstante Dichte des Materials etc.)  Physikalische Eigenschaften (z.B.  entgegen der Annahme  nicht konstante Blechdicken, Weglassung einer Beschichtung) real idealisiert 114 Fehler bei der Modellbildung  Wahl des Elementtyps (ungeeigneter Elementtyp, inkompatible Elementverschiebungsansätze, falscher Übergang von Schalen auf Volumenelemente, Unstimmigkeiten bei den Freiheitsgraden der Knoten je nach Element, siehe Bild 9.4)  Lokales Elementbzw. Knotenkoordinatensystem (unterlassene oder fehlerhafte Definition)  Elementgrösse (ungenügende Netzfeinheit: z.B. zu grobe Masche bezüglich Eigenschwingungsformen für höhere Eigenfrequenzen oder bezüglich Flächenpressung bei einer Kontaktanalyse)  Elementform (strapazierte “aspect ratios”, verzerrte, d.h. stumpfe und / oder spitze Ecken)  Elementtopologie (z.B. entgegengesetzte Orientierung der Normalen benachbarter Plattenelemente)  Vernetzung (abrupte Übergänge vom feinen zum groben Netzbereich; “doppelte” Elemente, etc.)  Vergessene Inputdaten (z.B. nicht eingegebene Dicke einer Platte wird vom Programm automatisch gleich “1” gesetzt)  Randbedingungen (keine “statisch bestimmte” Lagerung, d.h. mögliche “Starrkörperbewegungen”  3 in der Ebene bzw. 6 im Raum  nicht unterdrückt; Abweichungen von der Realität: z.B. Auflager in den Knoten der Mittelfäche einer Platte statt Oberfläche; feste, statt teilweiser bzw. “federnder” Einspannung)  Belastungen (Wahl von zu grossen oder zu kleinen Last- oder Zeitschritten; Vereinfachungen bei der Einführung von punkt-, linien- oder flächenförmigen Lasten, selbständige Umwandlung der verteilten Kräfte in Knotenlasten, ohne auf deren Konsistenz bzw. kinematische Äquivalenz zu achten) (siehe Abschnitt 2.11) 115 Dateneingabefehler  Tippfehler, Flüchtigkeitsfehler (“Vertippen” beim Editieren von Inputfiles aus Preprozessoren, “Leerzeilen”, nicht konsistente Masseinheiten, etc.)  Inkonsistenz durch mangelnde Konsultation von Handbüchern (z.B. Eingabe von Drehgeschwindigkeit  in “Hertz” statt geforderter “rad/ s”)  Rundungsfehler (durch beschränktes Eingabeformat: z.B. "small field" anstatt "large field” Format)  Transferfehler (eventuelle Unvollständigkeiten beim Übergang vom Preprozessor zum Berechnungsteil des FE- Programmes 116 Berechnungsfehler "Coding"  "bugs"  Mangelhafte, inkompatible Installation (z.B. verschiedene Computer, verschiedene Versionen)  ungeeigneter Algorithmus  Fehlende Unterprogramme (“Subroutines”, “patchs”, etc.) Programmfehler Fehler in der Methode  “bugs”  Inkompatibilität (z.B. zwischen den Versionen des Preund/ oder Postprozessors und des Berechnungsprogramms selbst)  Abweichungen von theoretischen Grundlagen (z.B. nicht konforme Elemente, unvollständige Polynome in den Ansatzfunktionen)  Ungenauigkeiten bei der Bildung von Elementsteifigkeitsmatrizen durch numerische Integration (z.B. “reduzierte” Integration)  Interpolationen (z.B. grobes “Nachfahren” einer nichtlinearen Materialkennlinie oder einer Belastungskurve  auch im Zeit- oder Frequenzbereich! )  Lösungsmethode (z.B. je nach Lösungsalgorithmus für das Eigenwertproblem fehlen einzelne “Modes”)  “bugs” im Postprozessor (z.B. fehlerhafte Interpolation oder Extrapolation für die Darstellung von Spannungen) Computer  Beschränkte Wortlänge (kann zu Datenverfälschungen führen)  Rundungsfehler (können sich fortpflanzen)  Speicherprobleme (mit Arbeits- oder Datenspeicherplatz) Interpretationsfehler 117  Mangelnde Kenntnis über Interpolationen (Spannungen in Knotenpunkten werden von den relevanten Integrationspunkten her extrapoliert und anschliessend zwischen den Nachbarelementen gemittelt! )  Verschmierung bei Zahlenangaben aus den “Contourplots” (eventuell bedingt durch beschränkte farbliche Darstellung)  Graphische Täuschungen (z.B. durch Überhöhung der Deformationen)  Ungenügende Handbücher bzw. “Manuals” (z.B. “Background” der Elemente nicht genügend ausführlich erklärt)  Mangelndes Wissen und Verständnis der Funktionsweise des Programms Fehlbarkeiten des Anwenders  Mangelnde Grundlagenkenntnisse in Mechanik, Festigkeitslehre und Werkstoffkunde  Mangelnde konstruktive Erfahrung  Ungenügende theoretische Grundkenntnisse zur FE-Methode  Mangelnde Auseinandersetzung mit dem zu analysierenden Problem  Fehlendes Verständnis für die Motivation des Auftraggebers  Unterlassung einer kritischen Durchsicht der Unterlagen bzw. Angaben  Nachlässigkeit bezüglich fehlender Daten  Falsche Einschätzung der Leistungsfähigkeit des FE- Programms  Mangelnde Übung im Umgang mit dem FE- Programm  Voreilige Interpretation (Glaube an “bunte Bilder“)  Unterlassung der “Buchführung” über wichtige Entscheidungen, Inputparametern und Dateien  Termindruck 118 Bild 9.4: Werden Elemente mit unterschiedlichen Ansatzfunktionen bzw. mit unterschiedlicher Anzahl Knoten miteinander verbunden, so muss man sich vergewissern, dass die Freiheitsgrade der gemeinsamen Knoten kompatibel sind. Derartige Übergänge wären  wenn überhaupt  nur in “Randbereichen” vorzunehmen. Möglichkeiten zur Überprüfung der Ergebnisse 9.5 Die letzte Verantwortung für die Berechnungsergebnisse liegt primär beim Berechnungsingenieur. Deshalb sind nach jeder Berechnung die typischen Zielgrössen kritisch zu überprüfen. Vor Inangriffnahme eines Berichts bzw. vor Weiterverwendung der Resultate ist dieser Schritt unerlässlich. Im folgenden werden einige Möglichkeiten, Fehler aufzudecken, tabellarisch aufgeführt. Möglichkeiten zur Überprüfung der Ergebnisse / Fehlerkontrolle  Kontrolle durch das FE- Programm (wird automatisch durchgeführt)  Plausibilitätskontrolle (Gleichgewichts-“Check”, visuelle Prüfung von Ort und Grössenordnung der extremen Verschiebungen und Spannungen, Reaktionskräften, etc.; Vergleich mit Erfahrungswerten)  Beträchtliche Spannungskomponenten an theoretisch spannungsfreien Oberflächen  Auffällige Unstetigkeiten der Spannungen an benachbarten Elementrändern  Auffällige Oszillationen der Spannungen, Temperaturen, etc. längs einer 119 Element- oder Knotenreihe in einem XY-Plot  Überprüfung der Ergebnisse einer FE-Berechnung durch eine Überschlagsrechnung von Hand  Wiederholung der Berechnung mit unterschiedlich verfeinerten Modellen  Berechnung mit unterschiedlichen Last- oder Zeitschritten  Vergleichsrechnungen mit anderen FE- Programmen  Überprüfung durch praktische Messungen  ”Patch“-Test (siehe Bild 9.5)  Überprüfung der Erfüllung des Reziprozitätssatzes von Betti - Maxwell (siehe Abschnitt 2.1) Bild 9.5: “Patch“-Test: Auch ein verzerrtes FE-Netz sollte bei gleichmässiger Dehnung gleichmässige Spannungsverteilung ergeben. Durch solche Plausibilitätsüberlegungen kann die Qualität eines FE-Modells (als Ganzes oder ausschnittsweise) überprüft werden. dx  x dx  = konstant 1  x 120 Tipps und Tricks 9.6 In diesem Abschnitt werden einige praktische Hinweise zusammengefasst.  Ein optisch ansprechendes FE-Modell ist in der Regel auch qualitativ gut.  Zweckmässige Element- und Knotengruppen (”Sets“) einführen  Die eigentliche Modellierung beansprucht bei einer FE-Berechnung ca. 2/ 3 der Zeit. Es lohnt sich jedoch, dieser Phase die nötige Aufmerksamkeit zu schenken, ebenso, Vorgehensschritte schriftlich festzuhalten.  Für jede Berechnung empfiehlt sich, vorgängig eine Pilotstudie durchzuführen. Die Resultate davon sind nach Möglichkeit mit einer Handrechnung zu vergleichen.  Vor Inangriffnahme jeder Berechnung sollte über die Eingabe- und Ausgabegrössen (die letzteren z.B. Hauptspannungen, Verschiebungen, von Mises-Spannungen, Reaktionskräfte, Schnittkräfte, Eigenfrequenzen bis 33 Hz. etc.) sowie über die zulässigen Vereinfachungen Klarheit herrschen.  Wenn Werkstoffmodellen, Elementtypen usw. für die Darstellung am Bildschirm Farben zuweisen werden, erleichtert dies die Kontrolle des Modells.  Dreieckige 2D- und tetraederförmige 3D-Elemente ohne Zwischenknoten sollte man nach Möglichkeit vermeiden, da sie zu steif sind.  Auch eine runde Geometrie ist durchaus durch viereckige Elemente modellierbar (Bild 9.6). Es lohnt sich, diese Elemente so anzuordnen, dass die zugehörigen Spannungskomponenten in kritischen Bereichen auch richtungsmässig interpretierbar sind. 121 Bild 9.6: Beispiele für Vernetzung einer kreisförmigen Fläche durch viereckige Elemente  Trotz vielfältigen leistungsfähigen automatisierten FE-Vernetzungstechniken, welche in die Preprozessoren integriert sind, kann es vorkommen, dass der Berechnungsingenieur das FE-Modell modifizieren bzw. editieren muss. Dabei ist auf eine stufenweise Verfeinerung zu achten (Bild 9.7). 122 Bild 9.7: Einige Beispiele für manuelle Verfeinerung des FE-Netzes 123  Vorspannung im FE-Modell lässt sich durch künstlich eingeführte Temperaturdifferenz zwischen einzelnen Bestandteilen des Modells simulieren. Selbstverständlich muss diese Differenz auf den gewählten Wärmeausdehnungskoeffizienten und das Spannungsniveau abgestimmt sein. Bild 9.8: Beispiel für Vorspannung: Fachwerk mit integriertem Spannschloss  Weist ein hinsichtlich Beanspruchung zu untersuchender Körper eine modular aufgebaute Geometrie auf, so kann man durch Modellierung in zwei Schritten den erforderlichen Speicherplatz und Rechenaufwand in Grenzen halten: Zuerst eine FE-Berechnung mit grobem FE-Netz und anschliessend eine weitere nach lokaler Verfeinerung. + statt Bild 9.9: Aufteilung der Analyse in 2 Schritte reduziert den Aufwand.  Eine Durchdringung von zwei zylindrischen Körpern (z.B. ein Stutzen an einem Gefäss) lässt sich näherungsweise durch ein rotationssymmetrisches FE-Modell simulieren, wenn man den Hauptzylinder durch eine Kugel mit angepasstem Radius ersetzt. Dabei kann man die aus der Festigkeitslehre bekannten Kesselformeln heranziehen. F l Spannschloss 124 10 Übungen Eine finite Elemente Berechnung per Hand 10.1 Ein einfaches ebenes Fachwerk gemäss Figur besteht aus zwei Stäben (Länge des längeren Stabs: l = 2 m) welche aus zwei zusammengeschweissten U-Profilen (U100) gebildet sind. Die Belastung beträgt F = 10‘000 N. Man bestimme die Verschiebung der Lastangriffsstelle, die Lagerreaktionen und die Stabkräfte durch eine Handrechnung, indem man sich an die Vorgehensweise der Finite Elemente Methode hält. Danach prüfe man die Ergebnisse mittels Formeln aus der Statik bzw. Festigkeitslehre. 1 2 A B 1 2 3 Querschnitt: 100x100x6 mm l 45° F 125 Parameterstudie “Kerbwirkung” 10.2 (ERMITTLUNG DES SPANNUNGSKONZENTRATIONSFAKTORS IN ABHÄNGIGKEIT VON GEOMETRISCHEN VERHÄLTNISSEN) Man bestimme für einen Flachstahl (E = 2.1 . 10 11 N/ m 2 , Breite a = 100 mm, Dicke t = 2 mm) den Spannungskonzentrationsfaktor  in Abhängigkeit von d/ a (d: Bohrungsdurchmesser) für den Bereich 20 mm < d < 80 mm und stelle die Ergebnisse in Form eines geeigneten Plots zusammen. Man verwende dazu ein FE-Modell aus 2D-Scheibenelementen (ebener Spannungszustand! ). Wie stimmt die Kurve (d/ a) mit den vergleichbaren Angaben in den Handbüchern überein? Ferner prüfe man, ob die Aussagen tatsächlich materialunabhängig sind, indem man die Berechnungen für einen anderen linear-elastischen Werkstoff, z.B. Aluminium oder Kupfer, wiederholt.  d a a a F 126 Einfluss der FE-Vernetzung auf die Genauigkeit 10.3 (UNTERSCHIEDLICHE MODELLE IM VERGLEICH) Eine einseitig eingespannte, rechteckige Stahlplatte (Höhe h, Dicke t) ist gemäss Figur in B durch die Kraft F belastet. Man bestimme durch Verwendung von vier verschiedenen FE-Modellen mit 4, 16, 64 und 256 Scheiben-Elementen:  die vertikale Verschiebung des Lastangriffspunktes B,  die maximale Biegespannung in A,  die jeweilige prozentuale Abweichung von Handrechnung nach den Formeln aus der Festigkeitslehre. Die Ergebnisse sind in einer Tabelle zusammenzufassen. Man untersuche ferner den Einfluss ungleichmässiger Elementeinteilung und verzerrter Elementformen (extreme “aspect ratios“, markant stumpfe oder spitze Vierecke, etc.) auf die Genauigkeit der Berechnungsresultate. E = 2.1 . 10 5 N/ mm 2  = 0.3 F = 10 kN l = 1200 mm h = 300 mm t = 10 mm F B A l h 127 Unterschiedliche Elementtypen im Vergleich 10.4 Für den skizzierten Träger sind an aus unterschiedlichen Elementtypen (Balken-, Platten- und Solid-Elemente mit und ohne Zwischenknoten) gebildeten FE-Modellen folgende Grössen zu ermitteln, tabellarisch darzustellen und zu vergleichen:  die Durchbiegung am freien Ende,  die maximale Biegespannung an der Einspannstelle. E = 2.1 . 10 5 N/ mm 2  = 0,3 F = 10 kN l = 2000 mm b = 100 mm h = 200 mm F l b h A B 128 Anpassung der Netzfeinheit an die Belastung (3D) 10.5 (ROHR UNTER RINGFÖRMIGER LAST) Das freie Ende eines einseitig eingespannten Stahlrohrs (Länge l, Aussendurchmesser R, Wandstärke t) ist einer radialen Belastung p (mittels Koordinatentransformation als entsprechende Knotenlasten zu definieren) ausgesetzt. Man bestimme die Verteilung der dadurch verursachten Aufweitung längs der Rohrachse unter Verwendung unterschiedlicher FE-Modelle aus Schalenelementen, wobei mit der Netzverfeinerung “gespielt“ werden soll (siehe Vorschlag unten). Die Ergebnisse sind anschliessend gemäss Muster graphisch darzustellen. Ferner empfiehlt sich ein Vergleich mit den Angaben in den Handbüchern. L = 1000 mm R = 100 mm t = 2 mm p = 250 N/ mm E = 210‘000 N/ mm 2 Distanz entlang des Zylinders 30 10 -5 20 0 1 2 3 4 Radiale Verschiebung 3 2 1 p FE- Netz: 1 2 3 129 Anpassung der Netzfeinheit an die Belastung (2D) 10.6 (TRIBÜNE EINES SPORTSTADIONS) Für eine Tribüne mit Querschnitt gemäss Figur sind für ausgewählte Einheitslasten q = 10‘000 N/ m sowie F= 10'000 N (siehe nächste Seite) jeweils die maximale Vergleichsspannung und die maximale Durchbiegung mittels einer FE-Berechnung zu bestimmen. Man verwende dazu zuerst ein einheitlich bzw. relativ gleichmässig verfeinertes Netz (siehe Vorschlag unten) und setze ebenen Verformungszustand voraus. Anschliessend wiederhole man jede Rechnung mittels eines unter Berücksichtigung der Belastung optimierten FE-Modells. Vorschläge für die angesprochene Optimierung können den Skizzen entnommen werden. Der Vergleich der Ergebnisse ist in einer Übersichtstabelle zusammenzufassen. 20 m Geometrie massstäblich! 130 DER BELASTUNG ANGEPASSTE FE-VERNETZUNG 131 Optimierung einer Winkelverbindung 10.7 Eine Verbindung gemäss Figur sei aus zwei breiten I-Profilen 100x100x10x6 mm aus Stahl im Winkel von 90 o hergestellt.  Ermitteln Sie die Verteilung der Vergleichsspannungen für die angegebene Belastung anhand eines FE-Modells aus ca. 80 Schalenelementen.  Skizzieren Sie mindestens sechs einfache und schweissbare Gestaltungsvarianten für die Winkelpartie, mit welchen eine Reduktion der Vergleichsspannung zu erwarten ist.  Untersuchen Sie drei dieser Verbesserungsvorschläge an einem entsprechend modifizierten FE-Modell und geben Sie die Verminderung der Vergleichsspannung gegenüber der Basisvariante in % an. a a h  F t 1 h=b t 2 Einspannung h = b = 100 mm t 1 = 6 mm t 2 = 10 mm a = 300 mm  = 45 o F = 40 kN 132 EINIGE VORSCHLÄGE FÜR VERSTÄRKUNGSMASSNAHMEN 133 134 Schrittweise FE-Berechnung für modular aufgebaute 10.8 Strukturen Eine Stahlplatte mit mehreren kreisförmigen Aussparungen ist allseitig eingespannt. E = 2,1.10 5 N/ mm 2  = 0,3  = 7850 kg/ m 3 L = 7,5 m b = 4,5 m c = 1,5 m d = 0,9 m t = 0,02 m q N = 4000 N/ m 2 Man bestimme die Lagerreaktionen sowie die maximale Durchbiegung und die maximale Beanspruchung (Von Misessche Vergleichsspannung) für den Lastfall "Eigengewicht + Nutzlast q N " in der negativen z-Richtung nach folgenden zwei Varianten: • Herkömmliches Vorgehen Berechnung an einem Modell (aus Schalenbzw. Plattenelementen) für die ganze Platte oder allenfalls für eine Viertelplatte unter Berücksichtigung der Symmetrie. L c c b d Dicke: t y x z q 135  Vorgehen in drei Schritten 1. Ermittlung eines "Moduls" für 1/ 15 der Platte mit einem Ersatz E-Modul E* für Stahl (ohne Aussparung, aber mit derselben globalen Biegesteifigkeit wie der entsprechende Bereich). Dazu kann ein Teilmodell mit einem eingespannten Rand und einer Momentbelastung längs der gegenüberliegenden Kante (z.B. 10 kNm/ m) nach folgendem Muster verwendet werden: 2. Berechnung an einem vereinfachten, aus Modulen mit grober Elementeinteilung nach (b) gebildeten Modell (allenfalls unter Berücksichtigung der Symmetrie) für den “angepassten” Lastfall (  und q N so modifizieren bzw. reduzieren, dass die Gesamtbelastung der Platte stimmt! ). Diese liefert die “praktisch genauen” Verschiebungen und gibt Hinweise über die meistbeanspruchten Partien der Platte. 3. Berechnung am lokal verfeinerten Modell entsprechend einem “Modul” nach (a) im kritischen Bereich. Dieses enthält eine Aussparung; die im vorangehenden Schritt errechneten Verschiebungen und Rotationen für die zugehörigen Seitenknoten werden als Randbedingung verwendet. Als Materialeigenschaften gelten wiederum die “Original”-Werte. Die Belastung kann ebenfalls als die effektive Flächenlast bzw. Eigengewicht mitberücksichtigt werden. P.S.: Diese Berechnung bezieht sich also auf das potentiell am meisten beanspruchte “Modul“. Selbstverständlich kann man statt einer solchen Analyse eine andere, nämlich am lokal verfeinerten Modell der Gesamtplatte, durchführen. Man vergleiche die Ergebnisse nach beiden Lösungsvarianten. M (a) M (b) 136 Plastisches Materialverhalten / “Fliessgelenk” 10.9 An einen langen zylindrischen Behälter mit einer sphärischen Kappe ist gemäss Figur ein axialer Stutzen angeschweisst. Man berechne unter der Annahme ideal-elastoplastischen Materialverhaltens den Innendruck p max , der zur vollständigen Plastifizierung des Querschnitts am “Halsbereich“ (d.h. an schwächster Stelle des Stutzen) führt. Dabei verwende man ein rotationssymmetrisches Modell aus 2D-Elementen mit Zwischenknoten. E = 210000N/ mm 2 R a = 410 mm R i = 400 mm r a = 100 mm r i = 90mm  F = 250 N/ mm 2 p R a R i r i r a 137 Verstärkungsvarianten für einen Balken 10.10 Ein einseitig eingespannter Balken aus Holz ist an seinem freien Ende durch die Kraft F belastet. Er ist durch Flachstahlbänder zu verstärken (Dicke t), welche wahlweise oben, unten oder oben und unten anzubringen sind. Man bestimme die jeweils erwirkte Festigkeitserhöhung und Durchbiegungsverminderung gegenüber ursprünglichem Zustand durch FE-Modelle aus a) Schalen- und Solid-Elementen, b) nur Schalenelementen mit Verbundaufbau (Composite). E Hz/ / = 1,2.10 4 N/ mm 2 E St = 2,1.10 5 N/ mm 2  = 0,3 F = 2000 N L = 2000 mm b = 100 mm h = 200 mm t = 2 mm Hinweis: • Holz “isotrop” annehmen. • Zuerst die zu erwartenden Ergebnisse gemäss den Gleichungen aus der Festigkeitslehre ermitteln. • Mit möglichst unveränderter Netzfeinheit arbeiten. Resultate sind untereinander zu vergleichen und in einer geeigneten Tabelle zusammenzufassen. F l b h A B 138 Platte aus Verbundwerkstoff 10.11 (COMPOSITES) Eine quadratische Verbundplatte (1m x 1m) besteht aus drei Schichten mit orthotropischen Materialeigenschaften. Die Hauptachsen der oberen und der unteren Materialschicht (Dicken t 1 und t 3 3 bzw. 2 mm) sind gegenüber jenen der mittleren Schicht (Dicke t 2 =4 mm) um 45 o gedreht.  Die Platte wird durch die gleichmässig verteilte Randlast q = 1 . 10 6 N/ m 2 gestreckt. Man bestimme die Normal- und Schubspannungskomponenten sowie die Verzerrungen (Dehnungen und Schiebungen) in einzelnen Schichten. Ferner interpretiere man die Deformation der Platte.  Dieselbe Platte wird bei Abwesenheit der mechanischen Belastung (d.h. anfänglich spannungsfrei) von 125 o C gleichmässig bis auf 25 o C abgekühlt. Man ermittle durch eine neue FE-Berechnung die “thermische“ Deformation der Platte. E 1 = 2 . 10 10 N/ m 2 E 2 = 2 . 10 9 N/ m 2 E 3 = 1 . 10 9 N/ m 2  12   23   31  0.35 G 12 = G 23 = G 31 = 8 . 10 8 N/ m 2  1 = 7 . 10 -6  2 = 23 . 10 -6  3 = 15 . 10 -6 t 1 t 3 t 2 1 1 2 1 2 45° 3 2 q a b 139 Stabilitätsuntersuchung 10.12 (ERMITTLUNG DER KNICKLAST FÜR EINEN RAHMENTRÄGER) Ein Rahmenträger gemäss Figur hat eine Einzellast F aufzunehmen. Man bestimme die vorhandene Sicherheit gegen Ausknicken durch Verwendung eines FE-Modells aus Balkenelementen. E St = 2.1 . 10 11 N/ m 2  = 0.3 F=1000 N l = 4 m A=1 . 10 -5 m 2 I x = 1 . 10 -8 m 4 I y = 5 . 10 -6 m 4 (Lokale x-Achse der “Balken“ steht jeweils senkrecht zur Rahmenebene! ) F l l 140 Rotierende Scheibe 10.13 (FLIEHKRAFTWIRKUNG) Eine Vollscheibe konstanter Dicke (D = 2 R = 200 mm, t = 40 mm) aus Stahl ( = 7850 kg/ m 3 , E = 2.1 . 10 11 N/ m 2 ) rotiert mit n = 18000 U/ Min. Man bestimme die Spannungen in der radialen und der Umfangsrichtung im Bereich der Drehachse und am Aussenrand.  Diese Scheibe wird mit einer kleinen Bohrung (d = 2 R i = 5 mm) versehen. Welche Spannungen treten dann im Bohrungsbereich auf?  Man vergleiche diese Spannungen mit den analytischen Resultaten gemäss Formeln auf der nächsten Seite. Hinweise:  Man verwende rotationssymmetrische Solid-Elemente mit und / oder ohne Zwischenknoten.  Drehachse bzw. Bohrungsachse muss programmspezifisch gewählt werden.  Die Knoten in der Symmetrieebene senkrecht zur Zeichnungsebene (d.h. längs der y-Achse) können sich nicht in x- Richtung bewegen. x x y y t t R R=R a n n R i 141 Analytische Lösungen Rotierende Scheibe ohne Bohrung Maximale Spannungen im Bereich der Drehachse: 2 a 2 r R 8 3         Rotierende Scheibe mit Bohrung Spannungsverteilung in Abhängigkeit von r: ) r r R R R R ( 8 3 2 2 2 i 2 a 2 i 2 a 2 r         ) r 3 3 1 r R R R R ( 8 3 2 2 2 i 2 a 2 i 2 a 2              Maximale Radialspannung bei i a R R r  : 2 i a 2 max r ) R R ( 8 3 ) (       Maximale Umfangsspannung am Innenrand: ) R 3 1 R ( 4 3 ) ( 2 i 2 a 2 max            Achtung: max r max ) ( ) (     142 Rotorblatt eines Helikopters 10.14 (VEREINFACHTE BEHANDLUNG ALS ROTIERENDER STAB) Ein mit der Drehzahl n = 3600 U/ min rotierender Stab (100 x 60 x 1000 mm) aus Stahl ( = 7850 kg/ m 3 , E = 2.1 . 10 11 N/ m 2 ) wird durch eine konstante Winkelbeschleunigung von  = -1000 s - 2 bis zum Stillstand abgebremst. Man bestimme a) die Spannungen im Stab unmittelbar vor und nach Einsetzen der Verzögerung  durch eine quasistatische Handrechnung,  durch FE-Berechnungen, b) die Spannungen im Stab unmittelbar vor dem Stillstand, c) die ersten 2 Eigenschwingungen des Stabes  durch eine überschlagsmässige Handrechnung (siehe Theorie-Teil),  durch FE-Berechnungen, wobei zwecks Vergleichs mehrere Elementtypen (Balken-, Platten- und Solid-Elemente) getestet werden sollen.  a b l 143 Untersuchungen an einer Darrieus-Windkraftanlage 10.15 (KOMBI-LASTFALL: FLIEHKRAFTWIRKUNG + EIGENGEWICHT) Eine Windkraftanlage gemäss Figur hat zwei Rotorblätter aus Aluminium ( Al = 2650 kg/ m 3 ), E Al = 7.3 . 10 10 N/ m 2 ,  Al = 0.33). Jedes Blatt besteht aus zwei geraden Stücken (a = 8.5 m,  = 48.7 o ) und einem Kreissegment (R=9.6 m,  = 97.2 o ) im mittleren Bereich. Als Material für allfälige Streben zwischen Rotorblatt und Rotorwelle ist Stahl vorgesehen (( St = 7850 kg/ m 3 ), E St = 2.1 . 10 11 N/ m 2 ,  St = 0.3). Die weiteren geometrischen Daten, nämlich die Querschnittsparameter für die beiden Rotorblätter und die Streben, werden wie folgt angegeben: Rotorblatt: A = 8.94 . 10 -3 m 2 I 1 = 1.16 . 10 -5 m 4 I 2 = 3.19 . 10 -4 m 4 (1,2: Lokale Achsen) Strebe: A = 1.38 . 10 -3 m 2 I 1 = 8.48 . 10 -7 m 4 I 2 = 8.48 . 10 -7 m 4 x y    R a 1 2 Rotorwelle Querstrebe Rotorblatt 144 Für die Auslegung der Anlage wird eine Rotationsgeschwindigkeit von 0.8 Hz vorausgesetzt.  Man untersuche anhand von aus Balken- und “Truss“-Elementen gebildeten FE-Modellen alle vier vorgeschlagenen Tragkonstruktionen (siehe unten) hinsichtlich maximaler Biegebeanspruchung unter Fliehkraft, und wähle darunter die am besten geeignete Variante aus.  Man ermittle die Beanspruchungsverläufe sowie die Formänderungen (“Displacements“) unter Eigengewicht bzw. Fliehkraft einzeln und anschliessend unter kombinierter Belastung. VORSCHLÄGE FÜR VARIANTENSTUDIE “Befestigung Rotorblatt und Strebe an die Rotorwelle“ I II III IV Blatt und Strebe Blatt gelenkig, Blatt fest Blatt gelenkig fest ("eingespannt"! ) Strebe fest keine Strebe keine Strebe 145 Eigenschwingungen eines einfachen Fachwerks 10.16 Ein Wandkran gemäss Figur besteht aus zwei "Elementen", welche aus je zwei zu einem Vierkantrohr zusammengeschweissten Profilstählen U100 gebildet sind und hier nur als Zug-Druckstäbe berücksichtigt werden sollen. Man stelle die Matrizengleichung für die Eigenschwingungen dieses "ebenen" Tragwerks auf und bestimme seine Eigenfrequenzen mit zugehörigen Eigenvektoren per "Handrechnung".  Man bestimme dieselben Eigenschaften durch eine FE - Berechnung an einem einfachen Modell aus zwei Stabbzw. “Truss“-Elementen. E = 2,1 . 10 11 N/ m 2  = 0,3  = 7850 kg/ m 3 l 12 = 2 m A U100 = 13,5 cm 2 1 2 A B 1 2 3 Querschnitt: 100x100x6 mm l 45° 146 Eigenschwingungen eines “Balkens” 10.17 mit konzentrierten Massen (MODELL FÜR EIN GEBÄUDE) An einer am unteren Ende eingespannten Blattfeder aus Stahl (E = 2.1 . 10 11 N/ m 2 ,  = 7850 kg/ m 3 , Länge: l = 999 mm) sind gemäss Figur drei Einzelmassen (je m = 100 g) befestigt. Man ermittle die drei tiefsten Eigenfrequenzen dieser Struktur samt zugehörigen Eigenformen mittels FE- Berechnungen und zwar einmal mit, und einmal ohne Zusatzmassen. Dabei verwende man für die Einzelmassen den Knoten zugeordnete Massenpunktelemente (MASSES) und für die Blattfeder Balkenelemente. Man beachte, dass die letzteren ebenfalls durch Massenelemente und Federelemente (SPRINGS) ersetzt werden können. 40x2 mm Einzelmassen: je m Blattfeder 147 Transiente Schwingungen einer Platte unter 10.18 Stossbelastung Eine einseitig eingespannte rechteckförmige Stahlplatte wird über eine Zeit t = 0.4 s einer stossartigen Druckbelastung gemäss Figur ausgesetzt. Man bestimme  die ersten 6 Eigenfrequenzen mit zugehörigen Schwingungsformen dieser Platte und vergleiche sie mit den Angaben in den Handbüchern (die 1. Eigenfrequenz auch mit einer überschlagsmässigen Handrechnung),  den zeitlichen Verlauf der Durchbiegung in C während 2 s,  den dynamischen Lastfaktor (DLF) und vergleiche diesen mit den Angaben in den Handbüchern.  Wie ändert sich dieser mit der Stossdauer und warum ? (Man untersuche auch z.B. t = 0.08 s und 0.8 s, statt 0.4 s, für die Dauer des “Impulses“) a = 2 m b = 1 m d = 4 mm  = 7850 kg/ m 3 E = 2.1 . 10 11 N/ m 2  = 0.3 p o = 100 N/ m 2 p a b C d p p o t t 0 148 EIGENFREQUENZEN EINSEITIG EINGESPANNTER RECHTECK-PLATTEN Tabelle für die Koeffizienten 4 n ta / D   : Dichte t: Dicke : ) 1 ( 12 Et D 2 3    Biegesteifigkeit  n =2f n : Eigenkreisfrequenz der n. Eigenschwingung a/ b Mode 1/ 2 1 2 5 1 3.508 3.494 3.472 3.450 2 5.372 8.547 14.93 34.73 3 21.96 21.44 21.61 21.52 4 10.26 27.46 94.49 563.9 5 24.85 31.17 48.71 105.9 a b 149 DLF (“DYNAMIC LOAD FACTOR“) FÜR EINE LASTFUNKTION ALS DREI- ECKSIMPULS 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 (DLF) max t d / T t d F t DLF =  dynamisch /  statisch (: irgendeine Zustandsgrösse: Verschiebung, Beanspruchung, etc.) t d : Dauer des Impulses (siehe oben) T: Periode der ersten Eigenschwingung der Struktur 150 ”Beruhigung“ einer Fussgängerbrücke mittels 10.19 Schwingungstilgers Eine Fussgängerbrücke (10 x 1 x 0.1 m) aus Stahlbeton (E = 3 . 10 10 N/ m 2 , =2400 kg/ m 3 , =0.2) ist gemäss Figur statisch bestimmt gelagert. Sie wird durch einen Mann (Gewicht: G=800 N) im Punkt C in Schwingungen angeregt, wobei die Erregerkraft annähernd als F(t) = 800 . sin(12t) angenommen werden kann. Man bestimme den zeitlichen Verlauf der Durchbiegung in der Mitte der Brücke während 2 s. Wie ändert sich dieser, wenn daselbst mittels einer Feder (c = 3600 N/ m) ein Schwingungtilger (Masse 25 kg, Abmessungen 0.5 x 0.5 x 0.1 m) angeordnet wird? Ferner untersuche man anhand von weiteren Berechnungen, wie sich die Federkonstante auf die Beruhigung der Brücke auswirkt, sowie ob die Wahl des Befestigungsortes bei der Schwingungstilgung eine Rolle spielt oder nicht. m b d a F(t) A h 151 Gleichungen bezüglich Tilgereffekt aus der Schwingungslehre Anregung: F=F o sint Durch Anwendung des d’Alembertschen Prinzips erhält man die gekoppelten Differentialgleichungen der Bewegung: 0 ) x x ( k x m t sin F ) x x ( k x k x m 2 1 2 2 2 o 2 1 2 1 1 1 1             bzw. m 1 0 x 1 .. k 1 +k 2 -k 2 x 1 F o sint 0 m 2 x 2 -k 2 k 2 x 2 0 Durch die Ansätze x 1 =C 1 sint x 2 =C 2 sint für die stationäre Lösung und die Abkürzungen  1 2 = k 1 / m 1  2 2 = k 2 / m 2  = k 2 / k 1 x st = F o / k 1 ergeben sich die Amplituden der stationären Schwingungen:                    2 2 2 1 2 2 2 2 2 st 1 / 1 / 1 / 1 x C               2 2 2 1 2 2 st 2 / 1 / 1 x C m 1 m 2 k 1 k 2 x 1 x 2 Statische Ruhelage Statische Ruhelage F(t) + = 152 Thermoschock bei einer überhitzten Dampfleitung 10.20 (TRANSIENTE BERECHNUNG FÜR WÄRMEÜBERGANG MIT ANSCHLIESSENDER SPANNUNGSANALYSE) Eine Dampfleitung (R i = 150 mm, R a = 160 mm) aus Stahl (Wärmeleitfähigkeit k = 40 W/ m/ K, spezifische Wärmekapazität c p = 481 J/ kg/ K, Dichte  = 7850 kg/ m 3 , Wärmeübergangskoeffizient  = 250000 W/ m 2 / K) hat eine Betriebstemperatur von T = 540 o C. Sie wird während 10 s von innen mit kaltem Wasser besprüht, sodass die Temperatur des Mediums linear auf T’ = 240 o C herabgesetzt wird. Man bestimme  die transiente Veränderung der Temperaturverteilung im Rohr mittels eines rotationssymmetrischen, einfachen FE-Modells aus viereckigen 2D-Elementen mit Zwischenknoten,  die Spannungen in radialer und tangentialer Richtung infolge der Temperaturverteilung im extrem ungünstigen Augenblick (grösste Temperaturdifferenz zwischen Innen- und Aussenrand! ) durch das entsprechende “mechanische“ Modell. Der Wärmeausdehnungskoeffizient des Stahls beträgt  = 10 -5 K -1 , der Elastizitätsmodul E = 2.1 . 10 11 N/ m 2 . R a R i l 540 240 T [ o C] 10 t [s] 153 Schrumpfverbindung 10.21 Zwei “dickere” Ringe gemäss Figur sind durch eine Schrumpfverbindung zusammenzuhalten. Dazu wird der Aussenring um T = 300 K aufgeheizt, auf den Innenring gesteckt und auf die Raumtemperatur (T o = 20 o C) abgekühlt. Man simuliere beide Ringe in einem axisymmetrischen FE-Modell als ein “Kontaktpaar” aus zwei “deformable bodies” und ermittle die Schrumpfspannungen sowie die Masse beider Ringe bzw. R 1a und R 2i nach dem Abkühlen unter Vernachlässigung der Reibung. R 1i = 10 mm R 1a = 15.05 mm R 2i = 15 mm R 2a = 20 mm l = 25 mm E = 210’000 N/ mm 2  = 0.3  = 12 . 10 -6 K -1 l R 1i R 1 R 2i +R 2i =R 1a- -R 1a R 2 a 154 2D-Kontakt-Simulation 10.22 (FLÄCHENPRESSUNG BEI EINER SCHRAUBVERBINDUNG) Ein Gewinde gemäss Figur hat nach vollständigem Anziehen eine Axialkraft F aufzunehmen. Man bestimme die dabei auftretende maximale Flächenpressung an den Gewindeflanken mittels eines 2D-Modells aus ca. 50 - 100 rotationssymmetrischen Elementen (einmal mit und einmal ohne Zwischenknoten). E=210’000 N/ mm 2 =0.3 a = 36 mm b= 8 mm c = 0.1 mm d = 30 mm F = 10’000 N =60 o Hinweise:  Die Schraubenmutter sei links in der Längsbzw. x-Richtung gehalten.  Die Schraube durch eine weiche, in der gleichen Richtung angebrachte Feder (Federkonstante z.B. k=1000 N/ mm, das eine Ende fixiert) statisch bestimmt lagern, bzw. sie gegen eine mögliche Starrkörperbewegung im 0. Inkrement absichern.  Schraube und Mutter je als Ganzes, oder deren potentiell von der Flächenpressung betroffenen Bereiche, als Kontaktpaare definieren.  Genügende Anzahl Lastschritte (Inkremente) zulassen, um die volle Last F aufzubringen.  Überprüfen, ob die Flächenpressung lokal die Fliessgrenze des Stahls erreichen kann.  a b c F 155 Plastisches Umformen 10.23 Ein Metallzylinder wird gemäss Beilage zwischen zwei als starr annehmbaren Formplatten axial zusammengepresst. Man ermittle die plastische Formänderung des Zylinders, und die nach Beendigung des Umformvorgangs verbleibenden Eigenspannungen darin, durch Verwendung eines Modells aus rotationssymmetrischen Solid-Elementen. Zylinder Radius: R = 8 mm Länge: h = 12 mm E=210000 N/ mm 2  F = 300 N/ mm 2  = 0.3 ‘ = 450 N/ mm 2  pl ’ = 60 % Formplatten (Stempel) Radien: r = 1.5 mm b = 4 mm H = 10 mm Achtung: Bei dieser nichtlinearen Berechnung genügende Anzahl Lastschritte sowie grosse Verschiebungen und Verzerrungen zulassen! h R H r r b 156 2D-Simulation einer Projektilbremse 10.24 Eine im Wesentlichen aus zwei Gummikörpern (annähernd elastisches Materialverhalten, Elastizitätsmodul E, Dichte ) gemäss Figur bestehende Bremsvorrichtung soll die mit der Geschwindigkeit v auftreffende Projektile (aus Stahl, Masse m) beim Erreichen der Linie x x zum Stillstand bringen. Die Gleitreibungszahl zwischen Gummi und Stahl wird zu  geschätzt. Man bestimme das erforderliche Untermass h (= h h'). v = 10 m/ s E = 50 N/ mm 2  = 1200 kg/ m 3 = 0.45 h = 7.5 mm l = 8 cm l' = 10 cm b = 25 mm  = 0.3 b h l l´ h A 157 Simulation eines Kurbeltriebs 10.25 (EIN MECHANISMUS ALS FE-MODELL) Bei einem Kurbeltrieb gemäss Figur variiert der Innendruck p im Zylinder linear zwischen null (Totpunktlage 2) und p o (Totpunktlage 1). Der Kolben hat einen Durchmesser D, wobei die Kurbelstange und der Pleuel, beide aus Stahl, ebenfalls kreisförmige Querschnitte (Durchmesser: je d) aufweisen. Der Einfluss der mitbewegten Kolbenmasse m kann als Massenpunkt in B berücksichtigt werden. Man bestimme die zeitlichen Verläufe des Wegs s, der Kolbengeschwindigkeit v, der Kolbenbeschleunigung a, die Winkelgeschwindigkeit  der Kurbel, sowie die auf das Lager des Kreuzkopfes ausgeübte radiale Kraft F für eine Dauer von 5 vollen Umdrehungen der Kurbel nach folgenden Angaben: p o = 25 N/ mm 2 r = 70 mm l = 240 mm D = 500 mm 2 d= 100 mm 2 E = 2.1 . 10 m 11 N/ m 2 = 0.3  = 7850 kg/ m 3 m = 2 kg Hinweise:  Das FE-Modell unter Verwendung von Stabbzw. “Truss“-Elementen bilden, durch welche die Gelenke im Mechanismus automatisch mit simuliert werden.  Zur Berücksichtigung der Kolbenmasse einen Massenpunkt m in B anbringen.  Durch Aktivierung der Optionen “LARGE DISPLACEMENT” und “UPDATED LAGRANGE” bzw. mittels eines geeigneten Algorithmus unter Verwendung genügender Anzahl Inkremente sicherstellen, dass die Einflüsse infolge starker geometrischer Nichtlinearität, d.h. infolge Bewegung mit “grossen” Verschiebungen, erfasst werden.  Eventuell die Berechnungen mit einer anderen Wahl für den Zeitschritt wiederholen. T 1 r l  A B s p T 2 158 Kinematik eines Schubkurbelgetriebes Schubstangenverhältnis: = L r Formeln für die Bewegung des Kreuzkopfs (Gleitstein): Kreuzkopfweg: ) sin 1 1 ( L ) cos 1 ( r s 2 2         oder  unter Berücksichtigung, dass  2 sin 2 <<1 ist  näherungsweise:              ) 2 cos 1 ( 4 cos 1 r s Kreuzkopfgeschwindigkeit:             2 sin 2 sin r v Kreuzkopfbeschleunigung:         2 cos cos r a 2 Die oben aufgeführten Formeln können relativ einfach graphisch dargestellt und zu Vergleichszwecken gebraucht werden. r L  A B s  C 159 Literaturverzeichnis [1] Zienkiewicz, O.C.: Methode der finiten Elemente, Carl Hanser Verlag, 1975 [2] Robinson, J.: Understanding finite element analysis, Pitman Press, 1981 [3] Fröhlich, P.: FEM-Leitfaden, Springer Verlag, 1995 [4] Bathe, K.J.: Finite-Elemente-Methoden, Springer Verlag, 1986 [5] Sayir, M., Ziegler H.,: Mechanik, Birkhäuser Verlag, 1984 [6] A finite element primer, NAFEMS, 1986 Doz. D TRI Der sy 3., durch 66,00 C (Reihe T ISBN 97 Zum Buc TRIZ, d Aufgaben gewonnen klassische und prak Probleme typischen erscheine herauskom Wirksamk entscheid behandelt neueste m (Managem ausschlie Erfindung bzw. tech Inhalt: ARIZ und TRIZ-Wer TRIZ-Den Methodisc Die Inter Manager Produktio Interessie Rezensio »Wer eine sucht, ist Einstieg.« »Der Aut Qualität d die angef und selbs Der Auto Dietmar Z 1962 - 19 dem Geb Branchen Dr. rer. na IZ fü ystematis hges. Aufl. HF Technik) 78-3-8169ch: ie faszinier «, hat in de n. Ausgehe en Kreativitä ktische Anw e auf erfinder Komprom ender Wider mmen(! ). Z keit der Leh end weiter e t werden d methodische ment, Werbu ßlich techn smethode. - nische Kenn d TRIZ in i rkzeuge in m nkens - T che Ergänzu ressenten: und Mitarbe nspraktiker, erte, Lehrer u onen: e gut verstä bei dem neu « tor gibt wer der Methodik. führten Prinz st für künstler r: Zobel, Jahrg 992. Promot iet der Anorg übergreifen at. habil. r all e sche Weg 2012, 285 -3124-9 rende »The n letzten Ja end von e tstechniken wendung vo rischem Nive missdenkens rsprüche: m ahlreiche B hre. Der Au entwickelt un ie ideenges e Entwicklun ung, Bildend nischer Kre - Das Buch ntnisse verfüg hrer ursprün moderner Au TRIZ als ungen und pr eiter der Be alle an Neu und Hochsch ndliche, kurz uen Buch von rtvolle Denka . Das Buch w zipien aber a rische Aufga gang 1937. tion 1967, H ganischen P d - als TRIZ Be Tel: 071 E-Mail: ex Dietmar e g zur Pro 5 S., 61 Ab eorie zum hren mehr u einer kurzen beschreibt d on TRIZ zu eau. Kernpu durch d uss ein Sys Beispiele au utor hat die nd seine um schichtlichen ngen sowie de Kunst). M eativität we ist für jeden gt und der se nglichen For usprägung - universelle raktische Bei reiche F & uerungen un hullehrer, Stu zweilige und n Dietmar Zo anstöße. Se wendet sich auch in Bere benstellunge Industrieche Habilitation 1 Phosphorche Z-Trainer. (w estellhot 159 / 92 65xpert@exp r Zobel oblemlös bb., 7 Tab. Lösen E und mehr an n Einführun der Autor die um Lösen unkt ist die Ü das Lösen stem heiß us untersch auf den A mfangreichen Quellen de interessante Methodisch eit hinaus: n verständlic eine kreative rm - Wicht - Vorläufer d Methode spiele E, Methodik nd Erfindung udenten, Mar d fundierte E obel gut aufg eine eigenen an Technike eichen wie W en inspirieren emiker, Erfin 974. Zahlrei mie). Heute www.dietmartline: 0 • Fax: -20 pertverlag.d sung , 39,80 €, rfinderischer n Bedeutung ng zu den Entwicklung schwieriger Überwindung n unlösbar und kalt zu iedlichen B Arbeiten von n Industrieerf es widerspr e Anwendun geht das B : Universel ch, der über en Fertigkeite ige des - ker, gen rketing-Expe Einführung zu gehoben. Das Mitteilung n erfinderisc er und Naturw Wirtschaftswi nd sein.« Na nder, Facha che Patente tätig als Gu -zobel.de) 0 de r r r ugleich sein ranchen be n Altschuller fahrungen ei uchsorientie ngsgebiete a Buch über d lle Denkme allgemeine en entscheide rten, Werbef um Thema u s Buch bietet gen der deu chen Leistun wissenschaft ssenschaften aturwissensc utor, Method e und Fachp tachter, Bera , so darf n elegen die r basierende ingebracht. A erten »TRIZaußerhalb d die gezielte ethode ran naturwissen end verbess fachleute, Kü und den Hin t einen hervo utschen Pate ngen sprech tler, ebenso n, Marketin g chaftliche R diker. 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Aufl. 2 & Studium 8-3-8169-3 ch: menband füh malen Vorge en für die Ent wicklern, Kon erwartet, die ch übertreffe igkeit gewon ngen zu be iche Optimie re und die Der Theme enoptimalen liches Entw iche Grundla nen der Hers nd Wertgest - Kosten be i der Bewert Gebrauchsw essenten: ine verständ dium und a nbaus, der der Ingenie ieuren im Te rtschaftliche or: ng. Peter W et »Konstrukt ustrial-Engin chnischen Ak ckler und Ko Ingenieure anagement« eter Web bewu keln nstru Methoden 013, 228 S m, 380) 3198-0 hrt Entwickle ehensweise. twicklung un nstrukteuren e in technisch en. 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Rezensi o »Die ausf Systemsim Der Auto Bernd Ack Bremsrege Federungs seit vielen ng. Bernd mulat agen un Aufl. 2011, & Studium 8-3-8169-2 ch: buch führt in ein System b m simuliert w geeigneter P ein Beispiel k stellt einleite enschaft un enen Anwen systemorien die zeitdisk und praktisc ein vertieftes en und weite essenten: richtet sich n, an Techni nteresse an ation als Too onen: führliche Int mulation« or: ker simuliert elsysteme u ssysteme, vo Jahren als L d Acker tions d praktis , 160 S., 38 m, 690) 2999-4 n die Welt d eschreibt un werden kann Programmier kennen. end Simulat d Technik v dungsgebiet ntierte Sprac kreten Syste ch erprobt. D s Verständni ere einfache an Mitarbeit iker und Kau der Simulat ol bei ihrer tä erpretation te zunächst nd entwicke or allem der Lehrbeauftra Be Tel: 0715 E-Mail: ex stech sche Anw 8,80 €, 64, der Simulatio nd daraus ein n. Er erhält G rsprachen u ion im Rahm veranschaul ten. Zur Sim chen ein: AC eme. Die Sp Durch eine au s der System Matlab Simu ter aus Entw ufleute, insbe tionstechnik äglichen Arbe der Simulat Teilkompon elte geeignet aktiven Fahr gter weiter. estellhotl 59 / 92 65-0 xpert@expe hnik wendung ,50 CHF on ein. Der L n Modell able Grundkenntni und lernt m men von Sys icht er die mulation zeitk CSL und Ma prachen we usführliche In msimulation. ulink-Beispie wicklung und esondere an haben bzw eit einsetzen tionsergebnis nenten von F te Regelalgo rzeugfederun line: 0 • Fax: -20 ertverlag.de gen Leser erfähr eitet, mit dem isse über de mit MATLAB stemstudien große Bede kontinuierlich atlab Simulin rden jeweils nterpretation Zur eigenen le als Simulin dn. n sse vermitte Fahrzeugen orithmen. Sp ng. Seine Er e t, mn B dar. Anhand eutung der er und zeitd nk für die ze s anhand an der Simulat n Anwendung nk Programm elt ein vertie wie z.B. 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Dazu wird erklärt, dass Innovation ein immanenter Bestandteil der natürlichen und menschlichen Evolution ist. Durch neueste Erkenntnisse der Kreativitätsforschung und anhand von Erfinderbiografien wird versucht, die innovative Persönlichkeit und den kreativen Prozess zur erklären. Es wird auf die Rahmenbedingungen für ein innovatives Klima ebenso eingegangen, wie auf die Notwendigkeit neuer Innovationsmethoden. Inhalt: Chemische, biologische und physikalische Evolution und Innovation - Kurze Geschichte der menschlichen Innovation - Merkmale innovativer Persönlichkeiten mit beispielhaften Biografien - Erkenntnisse aus der Kreativitätsforschung zum kreativen Prozess - Rahmenbedingungen für Innovation in Unternehmen - Kurzer Abriss bekannter Innovationsmethoden - LOBIM als neuartiger, praxisnaher Methodenverbund aus TRIZ und Bionik - Beispiele zur schnellen Inspiration bei der Lösungssuche - Anwendungsbeispiele von LOBIM aus der Automobilindustrie Die Interessenten: Das Buch ist ein Gewinn für Entwicklungsingenieure, private und professionelle Erfinder, Manager und Mitarbeiter von F&E, ebenso für technisch, naturwissenschaftlich und auch wirtschaftlich interessierte Studenten und Lehrer Rezensionen: »Das vorgelegte Buch ist hervorragend! Sorgfältig strukturiert, mit vielen konkreten Beispielen und Bildern visualisiert, regt es die Phantasie zum Erfinden an. Es sollte sowohl in der Lehre als auch in Entwicklungs- und Konstruktionsabteilungen gute Impulse generieren« GFPMagazin - Gesellschaft für Produktionsmanagement e.V. Der Autor: Nick Eckert ist Maschinenbauingenieur und seit 2002 Entwicklungsingenieur bei einem globalen Zulieferer für automobile Sicherheit. Er war als Vertriebsingenieur und Produktingenieur bei verschiedenen Industrieunternehmen sowie als Konstruktionsingenieur in der Automobilindustrie tätig. Zahlreiche Patente auf dem Gebiet der Fahrzeugsicherheit. Seit 2004 Tätigkeit als TRIZ-Moderator. Er beschäftigt sich nebenberuflich mit Bionik und ist Mitglied des Berliner Arbeitskreises TRIZ Blätterbare Leseprobe und einfache Bestellung unter: www.expertverlag.de/ 3325 Be Tel: 071 E-Mail: ex estellhot 159 / 92 65xpert@exp tline: 0 • Fax: -20 pertverlag.d 0 de Doz. Dr. rer. nat. habil. Dietmar Zobel Dr.-Ing. Rainer Hartmann Erfindungsmuster TRIZ: Prinzipien, Analogien, Ordnungskriterien, Beispiele 2., durchges. Auflage 2016, 218 S., 28 Abb., 12 Tab., 44,00 €, 57,50 CHF (Reihe Technik) ISBN 978-3-8169-3244-4 Zum Buch: TRIZ, die faszinierende Theorie zum Lösen Erfinderischer Aufgaben, wurde von G. S. Altschuller bereits vor etwa 60 Jahren geschaffen. Seit etwa zwei Jahrzehnten gewinnt die Methode in der industriellen Praxis international mehr und mehr an Bedeutung. Ein besonders beliebtes TRIZ-Instrument sind die 40 Prinzipien zum Lösen technischer Widersprüche, wobei die zur Lösung eines bestimmten Problems empfohlenen Prinzipien über eine Zuordnungs-Matrix ausgewählt werden. Das Buch befasst sich mit einer kritisch-konstruktiven Analyse dieser Vorgehensweise. Von den Autoren wird vorgeschlagen, anstelle bzw. in Ergänzung der Matrix mit einer Hierarchie der Lösungsprinzipien zu arbeiten. Ausführlich werden das erfinderisch besonders wichtige Umkehrprinzip sowie das Konzept der »Von Selbst«- Lösungen behandelt. Alle methodischen Vorschläge werden anhand neuerer und neuester (z.T. eigener) Beispiele näher erläutert. Das Buch ergänzt die widerspruchsorientierte methodische Literatur in für den Erfindungspraktiker wesentlichen Punkten. Inhalt: TRIZ als Erfindungslehre und Denkstrategie - Die Hierarchie der Lösungsprinzipien - Beispiele zum Wirken ausgewählter Universalprinzipien - Neuere Beispiele zu den Prinzipien-Kategorien Die Interessenten: Manager und Mitarbeiter der Bereiche F & E, Kreativitäts-Methodiker, Produktionspraktiker, alle an Neuerungen und Erfindungen Interessierte, Gymnasial-, Hochschul- und Fachhochschullehrer, Studenten naturwissenschaftlicher und technischer Fachrichtungen Rezensionen: Buchvorstellungen sind erschienen in der »Konstruktion - Zeitschrift für Produktentwicklung und Ingenieur- Werkstoffe«, bei der »TRIZ Consulting Group - www.tritzcosulting.de«, beim »Erfinderclub-Berlin.de« und bei der »Deutschen Aktionsgemeinschaft Bildung-Erfinden- Innovation www.dabei-ev.de. Die Autoren: Dietmar Zobel, Jahrgang 1937. Industriechemiker, Erfinder, Fachautor, Methodiker. Industrietätigkeit 1962 - 1992. Promotion 1967, Habilitation 1974. Zahlreiche Patente und Fachpublikationen (meist auf dem Gebiet der Anorganischen Phosphorchemie). Heute tätig als Gutachter, Berater, Methodikdozent sowie - Branchen übergreifend - als TRIZ-Trainer. (www.dietmar-zobel.de) Rainer Hartmann, Jahrgang 1946. Ingenieur, Methodiker, Erfinder. Hochschultätigkeit 1972-1981, Promotion 1982. Heute tätig als selbstständiger Berater und TRIZ-Trainer (www.trizconsult.de). Blätterbare Leseprobe und einfache Bestellung unter: www.expertverlag.de/ 3244 Be Tel: 071 E-Mail: ex estellhot 159 / 92 65xpert@exp tline: 0 • Fax: -20 pertverlag.d 0 de